Cím: A kúpszeletek elemi tulajdonságai 2. (Középpontos kúpszeletek)
Szerző(k):  Antal Márkus 
Füzet: 1901/április, 205 - 210. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

II. Középpontos kúpszeletek

 
I. definíczió. A középpontos kúpszelet geometriai helye mindazon pontoknak, melyek adott körtől (vezérkör: F1) és adott ponttól (gyújtópont: F2) egyenlő távolságra vannak.
 
A szerkesztés a definíczió alapján a következőként történik: A vezérkör valamely P' pontját összekötjük F2-vel. Az F2P'-re P1 felezéspontjában állított merőleges az F1P'-t a görbe P pontjában metszi.
 
Bizonyítás.
PP1P'PP1F2,
tehát
PP'=PF2.

Ha F1F2 a vezérkört az A'1 és A'2 pontokban metszi, akkor az F2A1' és F2A2' távolságok felezéspontjai (A1 és A2) szintén pontjai a görbének és
A1A2=A2'F22+A1'F22=A1'A2'2=2a

Ha a P' és P'' pontokat úgy vesszük fel a vezérkörön, hogy P'P''F1F2, és megszerkesztjük a nekik megfelelő P és P pontokat, akkor ezek az F1F2-től egyenlő távolságra feküsznek, tehát :
 
I. tétel. Az F1F2 egyenes tengelye a közénpontos kúpszeletnek.
 

 
 
II. definiczió. Az A1A2 távolságot a középpontos kúpszelet főtengelyének nevezzük.
 
II. tétel. A főtengely hossza (A1A2=2a) egyenlő a vezérkör sugarával.
Ha pedig a P1' és P2' pontokat úgy vesszük fel, hogy a P1'P2' átmenjen az F2 fokuson és a P1P2 az F1F2-t O-ban metszi; az F1P1F2P2 parallelogramma, mert a P1'F1P2' egyenlőszárú háromszögben
F2P1'P1=F1P2'F2,
tehát
P1'F2P1=F1P2'F2
és
P2'F2P2=F1P1'F2
vagyis
F1P1F2P2
és
P1F2P2F1.
Az O tehát a főtengely felezéspontjában fekszik és
OP1=OP2,tehát

 
III. tétel. A főtengely felezőpontja a középpontos kúpszelet középpontja. Jogosan neveztük tehát ezen kúpszeleteket a parabolával szemben középpontos kúpszeleteknek.
Az I. tétel alapján a P1 és P2 tükörképei (P3 és P4) a főtengelyre vonatkozólag szintén a görbén vannak. Ha P1P4 és P2P3 az O-ban a főtengelyre állított merőlegest az R1 és R2 pontokban metszik, akkor:
P1R1=P4R1
és
P2R2=P3R2,
tehát:
 
IV. tétel. A középpontos kúpszelet középpontjában a főtengelyre állított merőleges szintén tengelye a görbe vonalnak.
 

I. feladat. Keressük valamely egyenes (g) és egy meg nem rajzolt középpontos kúpszelet metszéspontjait.
Megoldás. Ha g a görbét pl. M-ben és F1M a vezérkört M'-ben metszi, akkor: MM'=F2M (I. definiczió). Ha pedig F2-nek g-re vonatkozó tükörképe F'2, akkor: MF2=MF'2. Az M tehát oly kör középpontja, a mely átmegy az F2,F'2 és M' pontokon. Ez a kör azonban érinti is a vezérkört, mert M' a két kör centrálisán (F1M) van.
Az adott egyenes és görbének minden metszéspontja tehát középpontja oly körnek, a mely átmegy a két ismert F2 és F'2 pontokon és érinti a vezérkört.
 
 

A probléma megoldása tehát a következőként történik: Rajzolunk kört, mely átmegy az F2 és F'2 pontokon és a vezérkört pl. az X,Y pontokban metszi. XY és F2F2'H metszéspontjából megrajzoljuk a vezérkörhöz a HM'1 és HM'2 érintőket. Az F1M1' és F1M'2 a g-t a keresett M1 és M2 pontokban metszi.
A bizonyítás egyszerűen azon az alapon eszközölhető, hogy három kör, hatványvonalai (F2F2',XY és HM1' vagy HM'2) egy pontban (H) metszik egymást.
Minthogy egy pontból a körhöz legfeljebb két érintő húzható, tehát legfeljebb két metszéspont van, tehát: V. tétel. A középpontos kúpszelet másodrendű görbe vonal.
 

Mi történik, ha g-t az M1 körül a nyíl irányában forgatom? Az M2 folyton közeledik az M1-hez, az F2' pedig az F2F'2M1' körön a M1'-hez. A g egy meghatározott határhelyzethez közeledik és mikor F'2 összeesik M'1-gyel, akkor H is M'1-be jön, tehát g-nek a görbe vonallal való M2 metszéspontja beleesett az M1-be. A g-ből tehát a t érintő lett. Tehát:
VI. tétel. A középpontos kúpszeletnél a fokusnak (F2) az érintőre vonatkozó tükörképeinek (F'2) geometriai helye a vezérkör.
Ha a fokusból az érintőre bocsátott merőleges talppontja M1, akkor :
OM1:F1M'1=F2O:F2F1=1:2,
vagyis
OM1=F1M'12=a,
tehát: VII. tétel. A fokusból az érintőre bocsájtott merőleges talppontjának (M1) geometriai helye oly kör, melyet a középpontos kúpszelet középpontja körül a főtengely felével rajzolunk. Ezt a kört, mely a görbe vonal csúcsain (A1 és A2) áthalad, főkörnek nevezzük.
 

II. feladat. Rajzoljunk a középpontos kúpszelet M1 pontjában érintőt.
Megoldás. Az F1M1 messe a vezérkört M'1-ben, F2M'1 pedig a főkört M1-ben, akkor M1MI lesz az érintő.
 
 

Tegyük fel, hogy az M1 és M2 pontokban rajzolt érintők egymást M-ben metszik, akkor, ha F1M1, illetőleg F1M2 a vezérkört az M'1, illetőleg M'2 pontokban metszik:
MM'1=MF2=MM'2,
tehát M'1,M'2 és F2 oly kör kerületén feküsznek, melynek középpontja a két érintő metszéspontja M. Ennek alapján könnyű megoldani a következő feladatot:
III. feladat. Adott pontból rajzoljunk a középpontos kúpszelethez érintőket.
Megoldás. Az adott M pont körül MF2 radiussal rajzolt kör a vezérkört messe M'1 és M'2 pontokban. Ha az F2M'1 és F2M'2 a főkört az MI és MII-ben metszik, akkor MMI és MMII lesznek a keresett érintők. A hol pedig F1M'1 illetőleg F1M2' az MMI illetőleg az MMII érintőket metszi, kapjuk az M1 és M2 érintési pontokat.
A továbbiakban tárgyalásaink kettéválnak. Már a szerkesztésnél is észrevehető ugyanis, hogy a szerint, a mint a gyújtópont a vezérkörön belül vagy kívül fekszik, lényegesen különbözők a görbe vonalak. Az első esetben (ellipsis) ugyanis a görbe vonal minden pontjával a főkörön belül fekszik, a második esetben (hyperbola) pedig a főkörön kívül. Vagyis :
VIII. tétel. Az ellipsis zárt görbe.
Az ellipsis középpontjából nem lehet az ellipsishez érintőket rajzolni, a hyperbolánál pedig lehet.
IX. tétel. A hyperbola középpontjából rajzolt érintők a hyperbolát a végtelenben érintik, azért ezeket végérintőknek vagy asymptotáknak is hívjuk.
 
 

Bizonyítás. Ha az OF2 radiussal rajzolt kör az ellenkört E'1 és E'2 pontokban metszi, akkor F2E'1 és F2E'2 érintik a főkört, még pedig EI és EII-ben. OEI és OEII az érintők, tehát
F2EIO=F2OIIO=90.
Ámde
F2E'1F1=F2E'2F1=90,
tehát
OEIF1E'1
és
OEIIF1E'2,
vagyis az érintési pontok tényleg a végtelenben vannak.
X. tétel. A hyperbola tehát nyÍlt kétágú görbe.
Az ellipsisnél a melléktengely metszi a görbét (P-ben), a hyperbolánál pedig nem.
Ha az ellipsis melléktengelyének hosszát P1P-t 2b-vel és az F1F2 távolságot, melyet excentricitásnak nevezünk, 2c-vel jelölöm, akkor az OF1P derékszögú háromszögben
a2=b2+c2.

A hyperbolánál is szoktunk melléktengelyről beszélni és ilyenkor a melléktengely B1 és B2 végpontjait úgy nyerjük, hogy
A1B1=A1B2=A2B1=A2B2=c
vagyis a hyperbolánál:
a2=b2+c2.
Végül ha a görbe vonal pontjait az F1,F2-vel összekötő távolságokat (r1 és r2) rádiusvektoroknak nevezzük, akkor: az ellipsisnél
r1+r2=2a
és a hyperbolánál
r1-r2=2a.

 
Az eddigiek alapján oldjuk meg a következő feladatokat:
 
932. Bizonyítsuk be, hogy az ellipsishyperbola érintője felezi a radius vektorok által bezárt szög mellékszögétszöget.
 
933. Mutassuk ki, hogy az ellipsisnélhyperbolánál a radius vektorok összegekülönbsége egyenlő a vezérkör sugarával.
 
934. Mutassuk ki, hogy minden középpontos kúpszeletnek két fokusa és két vezérköre van.