Kezdőlap

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A következőkben bemutatjuk néhány gyakrabban előforduló sor összegezését.
1 $^{\circ}$ . Legyen

\begin{matrix} S_{p} = 1^{p} + 2^{p} + 3^{p} + ... + n^{p} . \end{matrix}

Kiindulunk a következő egyenlőségekből:

\begin{matrix} {(1 + 1)}^{p} = 1^{p} + (\binom{p}{1}) 1^{p - 1} + (\binom{p}{2}) 1^{p - 2} + ... + (\binom{p}{i}) 1^{p - i} + ... + 1 \end{matrix}

\begin{matrix} {(2 + 1)}^{p} = 2^{p} + (\binom{p}{1}) 2^{p - 1} + (\binom{p}{2}) 2^{p - 2} + ... + (\binom{p}{i}) 2^{p - i} + ... + 1 \end{matrix}

\begin{matrix} ... \end{matrix}

\begin{matrix} {(n + 1)}^{p} = n^{p} + (\binom{p}{1}) n^{p - 1} + (\binom{p}{2}) n^{p - 2} + ... + (\binom{p}{i}) n^{p - i} + ... + 1. \end{matrix}

Eme egyenlőségeket összeadva, nyerjük, hogy

\begin{matrix} {(n + 1)}^{p} = (\binom{p}{1}) S_{p - 1} + (\binom{p}{2}) S_{p - 2} + ... + (\binom{p}{i}) S_{p - i} + ... + (\binom{p}{p - 1}) S_{1} + n + 1. \end{matrix}

Mint látható, eme egyenletből az

S_{p - 1}

S_{p - 2}, S_{p - 3}, ..., S_{1}

ismerete után kiszámítható. Ilyen módon, miután

S_{1} = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2}

, kapjuk, hogy

\begin{matrix} S_{2} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} \end{matrix}

\begin{matrix} S_{3} = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4} \end{matrix}

\begin{matrix} S_{4} = 1^{4} + 2^{4} + 3^{4} + ... + n^{4} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1) (3 n^{2} + 3 n - 1)}{30} . \end{matrix}

^{\circ}

\begin{matrix} S = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} . \end{matrix}

Felhasználjuk a következő egyenlőséget:

\begin{matrix} \frac{1}{n (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} . \end{matrix}

Ekkor

\begin{matrix} S = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \end{matrix}

\begin{matrix} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... - \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} S = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1} . \end{matrix}

n = \infty

, akkor:

S_{\infty} = 1

.
3

^{\circ}

\begin{matrix} S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + ... + \frac{1}{n (n + 2)} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{1}{n (n + 2)} = \frac{1}{2 n} - \frac{1}{2 (n + 2)}, \end{matrix}

\begin{matrix} S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2 n} - \end{matrix}

\begin{matrix} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} - ... - \frac{1}{2 n} - \frac{1}{2 (n + 1)} - \frac{1}{2 (n + 2)}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2 (n + 1)} - \frac{1}{2 (n + 2)} = \frac{n (3 n + 5)}{4 (n + 1) (n + 2)} . \end{matrix}