Cím: Sorok összegzése
Szerző(k):  Antal Márkus 
Füzet: 1900/október, 42 - 43. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A következőkben bemutatjuk néhány gyakrabban előforduló sor összegezését.
1. Legyen

Sp=1p+2p+3p+...+np.
Kiindulunk a következő egyenlőségekből:
(1+1)p=1p+(p1)1p-1+(p2)1p-2+...+(pi)1p-i+...+1
(2+1)p=2p+(p1)2p-1+(p2)2p-2+...+(pi)2p-i+...+1
...
(n+1)p=np+(p1)np-1+(p2)np-2+...+(pi)np-i+...+1.
Eme egyenlőségeket összeadva, nyerjük, hogy
(n+1)p=(p1)Sp-1+(p2)Sp-2+...+(pi)Sp-i+...+(pp-1)S1+n+1.
Mint látható, eme egyenletből az Sp-1 az Sp-2,Sp-3,...,S1 ismerete után kiszámítható. Ilyen módon, miután S1=1+2+3+...+n=n(n+1)2, kapjuk, hogy
S2=12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1)6
S3=13+23+33+...+n3=n2(n+1)24
S4=14+24+34+...+n4=n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1)30.

2
S=112+123+...+1n(n+1).
Felhasználjuk a következő egyenlőséget:
1n(n+1)=1n-1n+1.
Ekkor
S=11+12+13+...+1n-
-12-13-14+...-1n-1n+1,
tehát
S=1-1n+1=nn+1.
Ha n=, akkor: S=1.
3
S=113+124+...+1n(n+2)
1n(n+2)=12n-12(n+2),
S=12+14+16+18+...+12n-
-16-18-...-12n-12(n+1)-12(n+2),
tehát
S=12+14-12(n+1)-12(n+2)=n(3n+5)4(n+1)(n+2).