Kezdőlap


Cím:	A hányados előjele
Szerző(k):	dr. Anderkó Aurél
Füzet:	1899/március, 120 - 122. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha valamely $a$ tetszőleges absolut algebrai mennyiségből $b$ tetszőleges absolut algebrai mennyiséget egymásután annyiszor kivonjuk, a hányszor lehet (pl. $c$ -szer), akkor $c$ lesz az az absolut algebrai mennyiség, a mely megmutatja, hogy a $b$ egységeinek száma hányszor foglaltatik az $a$ egységeinek számában, azaz

\begin{matrix} | a | : | b | = | c | \end{matrix}

vagy tört alakban írva

\begin{matrix} \frac{| a |}{| b |} = | c |, \end{matrix}

a hol

a

-t osztandónak (illetve számlálónak),

b

-t osztónak (illetve nevezőnek) és

c

-t vagy

\frac{a}{b}

-t hányadosnak nevezzük. A hányados előjele pedig mindig az osztandó és osztó előjelétől függ.
Vizsgáljuk meg a hányados előjelét abban az esetben, a midőn először az osztandó positív (

+ a)

, az osztó pedig negatív (

- b)

, ekkor

\begin{matrix} (+ a) : (- b) = \pm c, \end{matrix}

a hol

(\pm c)

-nek előjelét kell eldöntenünk. Az osztás fogalmából következik, hogy

\begin{matrix} (+ a) = (- b) \cdot (\pm c) . \end{matrix}

Az egyenlőség baloldala fölvételünk értelmében határozottan positív és az egyenlőség jobboldalán a

(- b)

ugyancsak fölvételünk értelmében határozottan negatív, ellenben a

c

még tetszőleges előjelű. Hogy tehát az egyenlőség jobboldala is positív legyen, szükgséges, hogy a

c

minus előjellel bírjon ["K.M.L." V. évf. 4. sz. 64. l.], azaz

\begin{matrix} (+ a) : (- b) = - c, \end{matrix}

vagy tört alakban

\begin{matrix} \frac{+ a}{- b} = - \frac{a}{b} . \end{matrix}

(1)

Legyen másodszor az osztandó negatív (

- a)

, az osztó positív (

+ b)

, ekkor

\begin{matrix} (- a) : (+ b) = (\pm c) . \end{matrix}

Az egyenlőség bal oldala fölvételünk értelmében határozottan negatív és az egyenlőség jobb oldalán a (

+ b)

ugyancsak fölvételünk értelmében határozottan positív, ellenben a

c

még tetszőleges előjelű. Hogy tehát az egyenlőség jobb oldala is negatív legyen, szükséges, hogy a

c

minus előjellel bírjon, azaz

\begin{matrix} (- a) : (+ b) = - c \end{matrix}

vagy tört alakban írva

\begin{matrix} \frac{- a}{+ b} = - \frac{a}{b} . \end{matrix}

(2)

Legyen harmadszor az osztandó is negatív (

- a)

, meg az osztó is negatív (

- b)

, ekkor

\begin{matrix} (- a) : (- b) = (\pm c) \end{matrix}

a hol a

(\pm c)

előjelét kell eldöntenünk. Az utolsó relatióból következik, hogy

\begin{matrix} (- a) = (- b) \cdot (\pm c) \end{matrix}

vagyis az egyenlőség jobb oldalának negatívnak kell lennie, minthogy az egyenlőség bal oldala

(- a)

fölvételünk szerint határozottan negatív. Ámde ez a szorzat negatív csak úgy lehet,ha

c

positív lesz, minthogy a

(- b)

fölvételünk szerint határozottan negatív, azaz

\begin{matrix} (- a) : (- b) = + c \end{matrix}

vagy tört alakban

\begin{matrix} \frac{- a}{- b} = + \frac{a}{b} . \end{matrix}

(3)

Végre negyedszer, ha az osztandó (

a)

és az osztó (

b)

positív mennyiségek, akkor a hányados is csak positív lehet, azaz

\begin{matrix} (+ a) : (+ b) = (+ c) \end{matrix}

vagy tört alakban

\begin{matrix} \frac{+ a}{+ b} = + \frac{a}{b} . \end{matrix}

(4)

Ha most az (1.) és (2.), továbbá a (3.) és (4.) alattiakat összefoglaljuk, a következő tételt mondhatjuk ki:
Ha az osztó és osztandó különböző előjelűek, akkor a hányados negatív, ha pedig egyező jelűek, akkor a hányados positív.
Vagyis: Ha a tört számlálója és nevezője előjelben különböznek egymástól, akkor a tört negatív, ha pedig megegyeznek egymással, akkor a tört positív.

Budapest.

Dr. Anderkó Aurél