Cím: Mennyiségtani játékok (1897. szeptember)
Szerző(k):  Dr. Bozóky Endre 
Füzet: 1897/szeptember, 7 - 9. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

397.*   Mennyiségtani játékok.

 
A K.M.L. IV. évfolyamának 7. számában néhány tréfás algebrai bizonyítást mutattunk be; lássunk most geometriai bizonyításokat, melyek hibás eredményre vezetnek.
1. Kimutatjuk, hogy a tompa szög egyenlő a derékszöggel. Legyen adva az ABCD négyszög, melyben ABD=90,BAC szög tompaszög és AC=BD. AB és CD oldalak középpontjaiban merőlegeseket emelünk, melyek egymást S pontban metszik.
 
 

Kössük össze S-et a négyszög csúcspontjaival. Nyilvánvaló, hogy
SA=SB,SC=SD.
Minthogy továbbá feltevés szerint BD=AC, tehát
SACSBD,
mert oldalaik sorban egyenlők. Ennélfogva
CAS=DBS.
Másrészt világos, hogy
LAS=LBS,
mert az SAB háromszög egyenlőszárú s így
CAS-LAS=DBS-LBS
tehát CAB=ABD.
2. Minden háromszög egyenlőszárú. Rajzoljuk meg az ABC háromszögben az AO szögfelezőt s emeljünk BC középpontjában merőlegest. Ha AOBC-re, akkor AO egybe esik A1O-val, AB=AC és a háromszög egyenlőszárú. De ha AO nem merőleges BC-re, akkor AO és A1O egymást egy O pontban metszik.
 
 

Bocsássunk O-ból az AB és AC oldalakra merőlegeseket. Ekkor
AOB1AOC1
mert mindkettő derékszögű, AO átfogójuk közös és OAB1=OAC1. Tehát
AB1=AC1(1)
és
OB1=OC1.
Továbbá
A1OBA1OC,
mert mindkettő derékszögű és befogóik egyenlők. Ennélfogva
OB=OC.
Végül
OB1COC1B,
mert mindkettő derékszögű, továbbá a megelőzők szerint OB=OC és OC1=OB1. Így tehát
BC1=CB1(2)
(1)-ből és (2)-ből tehát következik, hogy
AB1+B1C=AC1+C1B
vagy
AC=AB
s így az ABC háromszög csakugyan eyenlőszárú.
3. Ha egy négyszögben két szemközt fekvő oldal egyenlő, akkor a másik két szemközt fekvő oldal párhuzamos.
Ha tehát AB=DC, akkor ADBC. Emeljünk az AD és BC oldalak középpontjaiban merőlegeseket, melyek egymást O-ban metszik és kössük össze O-t a négyszög csúcspontjaival.
 
 

Nyilvánvaló, hogy
OA=OD,OB=OC
és a feltevés szerint
AB=DC
tehát
OABODC
s így
AOB=DOC.
De másrészt
JOA=JODésBOK=COK,
tehát
JOA+AOB+BOK=JOD+DOC+COK.
Minthogy az egy pont körül fekvő szögek összege 360, ezért
JOA+AOB+BOK=180
vagyis JOK egyenes szög, tehát JO és OK egy ugyanazon egyenesbe esnek. Ha pedig AD és BC ugyanazon JK egyenesre merőlegesek, akkor AD csakugyan párhuzamos BC-vel.
 
Budapest.
Dr. Bozóky Endre.

*Kérjük az egyes bizonyításokban előforduló hibák megjelölését.