Kezdőlap


Feladat:	402. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Erdős V. , Szóbel I. , Vilcsek Andor
Füzet:	1904/április, 156. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyakorlat, Súlyvonal, Geometriai egyenlőtlenségek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/január: 402. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $A B C$ háromszög súlypontja $S$ , oldalainak felezőpontja $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ Ekkor

\begin{matrix} A A_{1} < A B_{1} + B_{1} A_{1} = \frac{A B + C A}{2} \end{matrix}

Ugyanígy

\begin{matrix} B B_{1} < \frac{A B + B C}{2}, C C_{1} < \frac{C A + B C}{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} A A_{1} + B B_{1} + C C_{1} < A B + B C + C A . \end{matrix}

Továbbá

\begin{matrix} A S + B S > A B, B S + C S > C A, C S + A S > C A, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} 2 (A S + B S + C S) = \frac{4}{3} (A A_{1} + B B_{1} + C C_{1}) > A C + B C + C A, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} A A_{1} + B B_{1} + C C_{1} > \frac{3}{4} (A B + B C + C A) . \end{matrix}

(Vilcsek Andor, Eger.)