Feladat:	586. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almássy György ,  Bánóczy Gy. ,  Barna Tibor ,  Blahó M. ,  Datner Pál ,  Füzy Ottó ,  Gállik István ,  Gárdos Pál ,  Huhn Péter ,  Kemény György ,  Klein Käthe ,  Nagy Elemér ,  Nemes Ferenc ,  Pálos Peregrin ,  Schwarz János ,  Szalai K. ,  Szűcsi István ,  Tarnóczy Loránt ,  Tóth Miklós
Füzet:	1937/január, 136 - 137. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Hidrosztatikai nyomás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1936/november: 586. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     I. Jelentse $E$ a külső, $e$ a belső, az $LL$ lappal elzárt edényt. Az $LL$ lap akkor esik le ha az $e$-be töltött víz színe eléri az $E$-ben levő víz színét, ill. ha az $e$-be töltött folyadék fenéknyomása megegyezik az $E$-ben levő víznek az $LL$ lapra gyakorolt, felfelé irányított nyomásával1. Ennek nagyságát a $hsg$ szorzat fejezi ki, ahol $h$ az $LL$ lapnak az $E$-ben levő víz színétől való távolságát és $s$ a víz sűrűségét jelenti. Ha már most $T$ jelenti az $e$ edény alaplapjának, $t$ az $e$ edénynek az $E$-ben levő víz színén levő keresztmetszetének területét, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{3}hsg\left(T+\sqrt[]{Tt}+t\right)}\end{array}$ jelenti az $e$ edénybe töltött, $h$ magasságú vízoszlop súlyát, azaz $1\text{kg}$ súlyát. a) Legyen már most a higany sűrűsége $s\text{'}\left(>s\right)$ és az $1\text{kg}$ súlyú higany magassága $h\text{'}$, a higany felszínének területe $t\text{'}$. Nyilván $h\text{'}<h$ és így $t\text{'}>t$. Már most feltételünk szerint ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{1}{3}h\text{'}s\text{'}g\left(T+\sqrt[]{Tt\text{'}}+t\text{'}\right)=\frac{1}{3}hsg\left(T+\sqrt[]{Tt}+t\right)}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{h\text{'}s\text{'}}{hs}=\frac{T+\sqrt[]{Tt}+t}{T+\sqrt[]{Tt\text{'}}+t\text{'}}<\mathrm{1,}}\hfill \end{array}}$ mert $t<t\text{'}$ és így $\begin{array}{c}{\displaystyle h\text{'}s\text{'}<hs\mathrm{,}}\end{array}$ azaz a higany fenéknyomása kisebb a vízénél: az $LL$ lap nem esik le. b) Jelölje $s\text{'}\text{'}\left(<s\right)$ az $e$ edénybe öntött $1\text{kg}$ súlyú alkohol sűrűségét és $h\text{'}\text{'}$ a magasságát, felszínének területét $t\text{'}\text{'}$. Most $h\text{'}\text{'}>h$ és így $t\text{'}\text{'}<t$, úgy hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{h\text{'}\text{'}s\text{'}\text{'}}{hs}=\frac{T+\sqrt[]{Tt}+t}{T+\sqrt[]{Tt\text{'}\text{'}}+t\text{'}\text{'}}>\mathrm{1,}}\end{array}$ mert $t>t\text{'}\text{'}$. Most tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle h\text{'}\text{'}s\text{'}\text{'}>hs\mathrm{,}}\end{array}$ azaz az alkohol fenéknyomása nagyobb a vízénél: az $LL$ lap leesik. c) Ezen kérdés eldöntésénél már nem a nyomást, hanem az $e$ alsó nyílását elzáró $T$ területű lapra felfelé nyomó erőt kell vizsgálnunk. Ennek nagysága megegyezik a $T$-vel mindenütt egyenlő keresztmetszetű vízoszlop súlyával, tehát nagyobb $1\text{kg}$ súlyánál. Ezért az $1\text{kg}$ súlyú ólomdarab nem nyomja le az $LL$ lapot.   II. Ha az $e$ edény alsó lapja $t$, a benne levő víz felszínének területe $T$ (ez $E$-ben levő víz szintjével megegyező magasságban), akkor az a) esetben leesik, b) $\phantom{ese}$,,$\phantom{ben}$ nem esik le, c) $\phantom{ese}$,,$\phantom{ben}$ leesik az $LL$ lap. Ugyanis az a) esetben a higany felszínének területe $T\text{'}<T$ és ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{h\text{'}s\text{'}}{hs}=\frac{T+\sqrt[]{Tt}+t}{T\text{'}+\sqrt[]{T\text{'}t}+t}>\mathrm{1,}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">azaz</span>}h\text{'}s\text{'}>hs\mathrm{.}}\end{array}$ A b) esetben, az alkohol felszínére nézve $T\text{'}\text{'}>T$ és így $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{h\text{'}\text{'}s\text{'}\text{'}}{hs}=\frac{T+\sqrt[]{Tt}+t}{T\text{'}\text{'}+\sqrt[]{Tt\text{'}\text{'}}+t}<\mathrm{1,}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">vagyis</span>}h\text{'}\text{'}s\text{'}\text{'}<hs\mathrm{.}}\end{array}$ A c) esetben pedig a $t$ alaplapra ható ‐ a víztől származó ‐ nyomóerő megegyezik a $t$-vel mindenütt egyenlő keresztmetszetű vízoszlop súlyával és ez kisebb $1\text{kg}$ súlynál. Tárgyalásunkban feltételeztük, hogy az $LL$ lap súlytalan. Ha az $LL$ lapnak is van súlya, ugyanezen eredményeket kapjuk; csakhogy ekkor a bevezetésben definiált $h$ magasság nem az $LL$ lapnak az $E$-ben levő víz színétől való távolságát fogja jelenteni, hanem egy ennél kisebb távolságot, aminthogy ezt általában is tapasztaljuk.   Jegyzet. A felsorolt megoldásokon kívül még számos oly dolgozat érkezett, mely nem volt figyelembe vehető, részben az indokolás hiányossága miatt, részben amiatt, hogy a nyomás és nyomóerő fogalmát nem különböztették meg. Helyes azon megállapítás, hogyha a lefelé növekedő keresztmetszetű edénybe $1\text{kg}$ higanyt öntünk $1\text{kg}$ víz helyett, akkor a higanyoszlop magassága nem $13\mathrm{,}6$-szer kisebb, mint a vízé, hanem $\left(13\mathrm{,}6+k\right)$-szor kisebb, ahol $k>0$. Ugyanis ha annyi higanyt öntenénk a szóbanforgó edénybe, hogy magassága az $1\text{kg}$ vízoszlop magasságánál $13\mathrm{,}6$-szer kisebb, akkor ezen higanymennyiség térfogata több lenne, mint a víz térfogatának $1/13\mathrm{,}6$ része és így súlya nagyobb, mint $1\text{kg}$. Tehát $1\text{kg}$ súlyú higanyoszlop magasságának kisebbnek kell lennie a vízoszlop magasságának $1/13\mathrm{,}6$ részénél. Hasonlóan következtethetünk az olaj esetében is, továbbá a lefelé szűkülő edénynél. 1Nyomás jelenti a vízszintes felületegységre ható nyomó erőt.