Kezdőlap


Feladat:	396. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Basch Rudolf , Erdős V. , Fried E. , Koffler B. , Szántó L.
Füzet:	1904/március, 137. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyakorlat, Algebrai átalakítások, Nevező gyöktelenítése
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1904/január: 396. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás. Legyen

\begin{matrix} \sqrt[]{1 + x} = a ésa \sqrt[]{1 - x} = b, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} {(a - b)}^{2} = {(\sqrt[]{1 + x} - \sqrt[]{1 - x})}^{2} = 2 - 2 \sqrt[]{1 - x^{2}} = 2 - 2 \sqrt[]{1 - \frac{3}{4}} = 1, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} a - b = 1 \end{matrix}

Továbbá

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = (1 + x) + (1 - x) = 2 \end{matrix}

és

\begin{matrix} a b = \frac{a^{2} + b^{2} - {(a - b)}^{2}}{2} = \frac{1}{2} \end{matrix}

Ennélfogva

\begin{matrix} \frac{1 + x}{1 + \sqrt[]{1 + x}} + \frac{1 - x}{1 - \sqrt[]{1 - x}} = \frac{a^{2}}{1 + a} + \frac{b^{2}}{1 - b} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{a^{2} + b^{2} - a b (a - b)}{1 + (a - b) - a b} = \frac{2 - \frac{1}{2}}{1 + 1 - \frac{1}{2}} = 1. \end{matrix}

Második megoldás. Ha a nevezőket végszerűsítjük, azután a számlálót és nevezőt

x

-szel megszorozzuk s végre

x

értékét helyettesítjük, ered:

\begin{matrix} \frac{1}{3} [- 6 + 2 \sqrt[]{3} (\sqrt[]{1 + \sqrt[]{\frac{3}{4}}} + \sqrt[]{1 - \sqrt[]{\frac{3}{4}}}) + 3 (\sqrt[]{1 + \sqrt[]{\frac{3}{4}}} - \sqrt[]{1 - \sqrt[]{\frac{3}{4}}})] . \end{matrix}

\begin{matrix} \sqrt[]{1 + \sqrt[]{\frac{3}{4}}} + \sqrt[]{1 - \sqrt[]{\frac{3}{4}}} = \sqrt[]{(\sqrt[]{1 + \sqrt[]{\frac{3}{4}}} + \sqrt[]{1 - \sqrt[]{\frac{3}{4}})^{2}}} = \sqrt[]{3} \end{matrix}

és

\begin{matrix} \sqrt[]{1 + \sqrt[]{\frac{3}{4}}} - \sqrt[]{1 - \sqrt[]{\frac{3}{4}}} = \sqrt[]{{(\sqrt[]{1 + \sqrt[]{\frac{3}{4}}} - \sqrt[]{1 - \sqrt[]{\frac{3}{4}}})}^{2}} = 1, \end{matrix}

mely értékeket helyettesítve ismét

1

-et kapunk eredményül.

(Basch Rudolf, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Erdős V., Fried E., Koffler B., Szántó L.