Kezdőlap


Feladat:	2004. évi Kürschák matematikaverseny 3. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2005/február, 70 - 71. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Matematika, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd), Logikai feladatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/február: 2004. évi Kürschák matematikaverseny 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A piros és kék pontok a kört ívekre osztják; írjunk minden egyes ívre $(+ 1)$ -et vagy $(- 1)$ -et úgy, hogy a piros pontok két oldalán egyenlő, a kék pontok két oldalán pedig ellentett számok álljanak. Mivel a kék pontok száma minden lépésben párossal változik, ezért mindig páros sok kék pont van a körvonalon. Az ívek fenti számozása tehát kétféleképpen végezhető el, és az egyik számozásból úgy kapjuk a másikat, hogy minden íven előjelet váltunk. Megmutatjuk, hogy az ívekre írt számok összege minden lépés után osztható marad $3$ -mal. A kezdeti állapotban ez igaz, mert egy $(+ 1)$ -et és egy $(- 1)$ -et adunk össze.
Ha egy lépésben egy $i$ ívre piros pontot ültetünk, akkor a beillesztett piros pont szomszédjainak színe megváltozik, ezért a lépés előtti ívszámozásból helyes ívszámozást kapunk, ha a beillesztett piros pont két oldalán keletkező részívekre az $i$ ívre írt szám ellentettjét írjuk, a további íveken pedig megtartjuk a számozást. Piros pont törlésekor fordítva járunk el. Az ívekre írt számok összege mindkét esetben $3$ -mal változik, tehát ha korábban $3$ -mal osztható volt az összeg, úgy ez a lépés után is így marad.
Ha néhány lépés után két piros pont marad, akkor két egyenlő szám kerül a kör kerületére, melyek összege nem osztható $3$ -mal. Ezt az állapotot tehát nem lehet elérni. $□$

II. megoldás. Ismét azt igazoljuk, hogy nem kaphatunk két piros pontot az adott lépésekkel. Feleltessünk meg a pontoknak egy-egy geometriai transzformációt: a kék pontok jelentsék a

t

-vel jelölt tengelyes tükrözést az

x

-tengelyre, a piros pontok pedig az

f

-fel jelölt, origó körüli,

120^{\circ}

-os elforgatásnak feleljenek meg.
Megmutatjuk, hogy azokban a pontrendszerekben, amelyek két kék pontból kiindulva előállíthatóak, a pontoknak megfeleltetett egybevágósági transzformációk szorzata ‐ tetszőleges kék vagy piros pontból indulva és pozitív körüljárás szerint haladva ‐ a minden pontot fixen hagyó, identikus transzformáció. Ez a kezdeti állapotban (két tükrözés) teljesül. Elegendő tehát megmutatnunk, hogy a lépések megőrzik ezt a tulajdonságot, hiszen két piros pontra a megfelelő egybevágóságok szorzata egy

- 120^{\circ}

-os forgatás.
Először is figyeljük meg, hogy ha egy rögzített kék vagy piros

p

pontból kiindulva a megfelelő transzformációk szorzata minden pontot helyben hagy, akkor tetszőleges

p'

ponttól kezdve a transzformációk elvégzését, szintén az identikus transzformációt kapjuk. Ez azért igaz, mert ha

p

-től

p'

-ig (pozitív körüljárás szerint) a transzformációk szorzata egy

τ

egybevágóság, akkor a

p' p

íven a szorzat szükségképpen a

τ^{- 1}

inverz leképezés. Ha viszont

p'

-ből indulunk, akkor a szorzat transzformációt úgy kapjuk, hogy először a

τ^{- 1}

, majd a

τ

transzformációt végezzük el, ám ez a leképezés-sorozat is minden pontot helyben hagy.
Tegyük tehát fel, hogy valamely állapotban a transzformációk szorzata az identitás, és tekintsünk egy tetszőleges lépést. A lépés négyféle lehet:

\begin{matrix} f f \Leftrightarrow t f t, f t \Leftrightarrow t f f, t f \Leftrightarrow f f t, t t \Leftrightarrow f f f; \end{matrix}

a transzformációk szorzata egyik esetben sem változik, ha a kiindulópont a megváltozott pontokon kívülre esik, tehát legalább egy esetben. Láttuk, hogy a transzformációk szorzata ekkor bármely kiinduló pontból az identitás lesz, amivel állításunkat igazoltuk.

□