Kezdőlap


Feladat:	2004. évi Kürschák matematikaverseny 2. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2005/február, 69 - 70. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Matematika, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd), Egész együtthatós polinomok, Magasabb fokú egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/február: 2004. évi Kürschák matematikaverseny 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $g (x)$ egy kívánt tulajdonságú polinom a feladatbeli $n$ számhoz. Létezik tehát olyan $a$ egész, melyre $g (a) = 2004$ . Definiáljuk a $g_{1} (x) : = g (x + a)$ polinomot. Nyilván $g_{1} (0) = g (a) = 2004$ , azaz $g_{1} (x)$ konstans tagja $2004$ , továbbá a $g_{1} (x) = n$ egyenletnek léteznek különböző, $a_{1}, a_{2}, ..., a_{2004}$ egész gyökei, melyek egyike sem $0$ , mivel $g_{1} (0) = 2004$ . Ez azt jelenti, hogy

\begin{matrix} g_{1} (x) - n = (x - a_{1}) (x - a_{2}) ... (x - a_{2004}) \cdot g_{2} (x), \end{matrix}

ahol a polinomosztás miatt a

g_{2} (x)

polinom is egész együtthatós, konstans tagja legyen

c

. Az egyenlőségben szereplő két polinom konstans tagjai megegyeznek, így persze

\begin{matrix} | 2004 - n | = | a_{1} | \cdot | a_{2} | \cdot ... \cdot | a_{2004} | \cdot | c |, \end{matrix}

ahonnan, felhasználva, hogy

c \neq 0

, kapjuk, hogy

\begin{matrix} | 2004 - n | \geq | a_{1} | \cdot | a_{2} | \cdot ... \cdot | a_{2004} | \geq | 1 | \cdot | - 1 | \cdot | 2 | \cdot | - 2 | \cdot ... \cdot | 1002 | \cdot | - 1002 | . \end{matrix}

Innen látszik, hogy

0 < n < 2004

nem lehetséges, ezért a fenti egyenlőtlenségből

n \geq {(1002!)}^{2} + 2004

következik.
Legyen most a

g (x)

polinom a következő:

\begin{matrix} g (x) : = - (x - 1) (x + 1) (x - 2) (x + 2) ... (x - 1002) (x + 1002) + {(1002!)}^{2} + 2004. \end{matrix}

Erre a polinomra

g (0) = 2004

és

\begin{matrix} g (\pm k) = {(1002!)}^{2} + 2004 \end{matrix}

minden

1 \leq k \leq 1002

egészre, vagyis a feladat kérdésére a válasz

\begin{matrix} n = {(1002!)}^{2} + 2004. □ \end{matrix}