A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelölje ezt az eseményt , ekkor esetén , továbbá esetén teljesül. Legyenek olyan páronként diszjunkt események, melyek közül alkalmasak uniójaként mindegyik előállítható, és azt is tegyük fel, hogy mindegyik szerepel legalább az egyik előállításában. (Ilyenek például az alakban előálló események, ahol vagy az eseményt, vagy annak komplementerét jelöli, és legalább egy -re teljesül.) Definiáljunk minden esetén egy vektort, ahol , amennyiben szerepel előállításában (vagyis ), különben pedig . Legyen esetén . Ekkor annak valószínűsége, hogy az események közül legalább az egyik bekövetkezik: . Tekintsük a következő mennyiséget: | | Könnyen meggondolhatjuk, hogy | | Most a súlyozott számtani és négyzetes közepek közti egyenlőtlenség segítségével alulról becsüljük értékét:
amiből , és így . Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy az események közül egyik sem következik be, legfeljebb . A feladat részének igazolásához legyen , ahol tetszőleges pozitív egész szám. Dobjunk -szer egy szabályos pénzérmével, és a dobások halmazának tetszőleges nemüres részhalmazára legyen az az esemény, hogy a -beli dobások között páratlan sok fej van. Megmutatjuk, hogy ez az esemény kielégíti a feltételeket. Legyen először a dobások halmazának egy nemüres részhalmaza, és legyen . Képzeljük úgy, hogy a dobás történik utoljára. Ha a -beli dobások közül páratlan sok lett fej, akkor valószínűséggel lesz a -beli dobások közül is páratlan sok fej (ha a dobás írás), ha pedig a -beli dobások közül páros sok lett fej, akkor szintén valószínűséggel lesz a -beli dobások között páratlan sok fej (ha a dobás fej). Ezért . Legyenek most és a dobások halmazának különböző nemüres részhalmazai. Feltehetjük, hogy például , vagyis létezik . Legyen . Képzeljük úgy, hogy a dobás az utolsó, a pedig az utolsó előtti. Akármi is a , előtti dobások eredménye, a dobás után valószínűséggel lesz a -beli dobások között páratlan sok fej, és a -beli fejek számán a dobás már nem változtat. A előtti dobások eredményétől függetlenül, az utolsó, dobás után pedig valószínűséggel lesz a -beli fejek száma páratlan. Ez azt jelenti, hogy . Az események közül akkor nem következik be egyik sem, ha az összes dobás eredménye írás, ennek a valószínűsége pedig . Ezzel a feladat részét is igazoltuk.
Megjegyzés. Tetszőleges páratlan -re megadható olyan esemény, amelyek teljesítik a feladatbeli feltételeket úgy, hogy pontosan valószínűséggel nem következik be egyik sem. Legyen ugyanis , és tegyük fel, hogy az eseményeink közül mindig pontosan következik be, ráadásul bárhogyan is választunk ki eseményt, azok együttes bekövetkezésének valószínűsége pontosan . Ekkor az esemény bekövetkezésének a valószínűsége | | illetve az és események együttes bekövetkezésének valószínűsége esetén | | Annak a valószínűsége pedig, hogy egyik esemény sem következik be éppen
|