A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás (Gyarmati Máté megoldása alapján). A és azonos íven nyugvó kerületi szögek, és váltószögek, valamint és szintén azonos íven nyugvó kerületi szögek.
Innen adódik. Ezen kívül , hiszen húrnégyszög. Tehát , hisz két-két szögük egyforma, így is teljesül. Legyenek és rendre a , illetve pontok tükörképei a egyenesre. Világos, hogy | | és hasonlóan | | ahol a és metszéspontja. A tükrözés miatt tehát , , , és egy körön ( Thalesz-körén) vannak. Ezen kívül és egyaránt rajta vannak az háromszög -nél lévő külső szögfelezőjén, ezért a csúcs tükörképe az egyenesre illeszkedik. Korábban láttuk, illetve a tükrözés miatt , így , és is egy egyenesre esnek. Ezek szerint | | tehát az és pontok is húrnégyszöget alkotnak. A és körök hatványvonala , a és körök hatványvonala pedig . E három kör hatványpontja pedig a két hatványvonal metszéspontja, . Tehát a pont hatványa az körre , és ez megegyezik a körre vett hatvánnyal. Mivel az utóbbi körön fekszik, -nek is illeszkednie kell e körre, tehát húrnégyszög. Innen | | és nekünk pontosan ezt kellett igazolnunk.
Megjegyzés. A feladat állítása akkor is teljesül, ha a húrról nem tesszük fel, hogy metszi az és oldalszakaszokat. Ez az általánosítás több, egymástól lényegesen nem különböző eset gondos vizsgálatával a fentiekhez hasonlóan igazolható. A bizottság nem kívánta ezzel terhelni a versenyzőket, ezért döntött a speciális eset kitűzése mellett.
|
|