Segédállítás: Nyolc egymást követő egész szám közül legfeljebb kettő választható ki úgy, hogy semelyik két kiválasztott szám különbsége ne legyen prím.
Bizonyítás: Bármely két kiválasztott szám különbsége 1, 4 vagy 6 (mivel 8 egymást követő számról van szó és a különbség nem lehet 2, 3, 5 vagy 7). Tegyük fel, hogy ki tudunk választani hármat úgy, hogy bármelyik kettő különbsége 1, 4 vagy 6. Legyenek ezek a számok $a<b<c$ és legyenek $x=b-a$, $y=c-b$. Ilyenkor $x$, $y$, és $x+y$ is az 1, 4, 6 számok valamelyike. Ez nem lehetséges. Ellentmondásra jutottunk, tehát nem tudunk kiválasztani három számot.
Az első 2022 pozitív egész számot feloszthatjuk 252 ilyen 8-as csoportra (1‐8, 9‐16, $\text{...}$, 2009‐2016) és egy 6-os csoportra (2017‐2022). Egyik csoportból sem választhatunk ki 2-nél több számot. Így összesen nem választhatunk ki $2\cdot 253=506$-nál több számot.
Példa 506-ra: 4-gyel osztva 1 maradékot adó számok (bármely 2 különbsége osztható 4-gyel, így nem lehet prím).
Így legfeljebb 506 számot választhatunk ki.