Kezdőlap


Feladat:	5405. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hauber Henrik
Füzet:	2022/november, 497. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Áram hőhatása (Joule-hő)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2022/április: 5405. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Két különálló ellenálláson összesen $I$ erősségű áram folyik át. Igazoljuk, hogy a két ellenállásra eső összteljesítmény akkor minimális, ha a két ellenállásra eső feszültség megegyezik!

Megoldás. Legyen az egyik ellenállás

R

, a másik ellenállás az elsőnek

x

-szerese, azaz

x R

. Az egyik ellenálláson átfolyó áramerősség

i_{1}

, a másikon átfolyó áram erőssége

i_{2} = I - i_{1}

.
Egy

R

nagyságú ellenállásra eső teljesítmény (általánosságban):

\begin{matrix} P = U \cdot i = R i^{2}, \end{matrix}

így a feladatban szereplő két ellenállás összteljesítménye:

\begin{matrix} P_{összes} = P_{1} + P_{2} = R \cdot i_{1}^{2} + x R \cdot {(I - i_{1})}^{2} = R [(1 + x) i_{1}^{2} - 2 x I i_{1} + x I^{2}] . \end{matrix}

Ismert, hogy az

f (x) = a x^{2} + b x + c

alakú másodfokú kifejezésnek

x = - \frac{b}{2 a}

-nál van szélsőértéke (

a > 0

esetén minimuma). Ennek megfelelően

P_{összes}

legkisebb értékéhez tartozó áramerősségek:

\begin{matrix} i_{1} = \frac{x}{1 + x} I, illetve i_{2} = I - i_{1} = \frac{1}{1 + x} I . \end{matrix}

Így az

R_{1}

ellenállásra eső feszültség:

\begin{matrix} U_{1} = R i_{1} = \frac{x}{1 + x} I R, \end{matrix}

a másik ellenállás feszültsége

\begin{matrix} U_{2} = (x R) \cdot i_{2} = \frac{x}{1 + x} I R . \end{matrix}

Látjuk, hogy a legkisebb összteljesítmény esetén

U_{1} = U_{2}

, tehát a feladat szövegében szereplő állítás valóban igaz.