Kezdőlap


Feladat:	350. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1951/december, 214 - 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/november: 350. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk pl. az $a^{x^{2}}$ függvényt, ha $a > 1$ . Mivel $a^{x}$ monoton nő és $x^{2}$ konvex, így

\begin{matrix} a^{{(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})}^{2}} < a^{\frac{x_{1} + x_{2}}{2}} . \end{matrix}

Mivel

a^{x}

is konvex függvény, így

\begin{matrix} a^{\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{2}} < \frac{a^{x_{1}^{2}} + a^{x_{2}^{2}}}{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} a^{{(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})}^{2}} < \frac{a^{x_{1}^{2}} + a^{x_{2}^{2}}}{2} . \end{matrix}

a^{x^{2}}

tehát konvex függvény. Általában ha

f

monoton növő és konvex függvény

g

pedig konvex, akkor az ezekből összetehető

f (g (x))

is konvex, mert

\begin{matrix} f (g (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})) < f (\frac{g (x_{1}) + g (x_{2})}{2}) < \frac{f (g (x_{1})) + f (g (x_{2}))}{2} . \end{matrix}

Az első egyenlőtlenség

f

monoton növekedése és

g

konvexsége, a második pedig

f

konvexsége miatt következik.