Kezdőlap


Feladat:	348. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1951/december, 208 - 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Jensen-féle egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/november: 348. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Eredményeinkből újabb függvények konvexségére tudunk következtetni, abból pedig racionális kitevőhöz tartozó hatványközepekre is ki fogjuk tudni terjeszteni eredményeinket. Az (5) egyenlőtlenséget alakítjuk át hasonlóan, mint föntebb a (3)-mal tettük. Emeljük $s$ -edikre mindkét oldalát, és írjunk $x_{1}^{t}$ , $x_{2}^{t}$ , helyett $y_{1}$ , $y_{2}$ -t. Mivel $s > 0$ , kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{y_{1}^{s / t} + y_{2}^{s / t}}{2} > {(\frac{y_{1} + y_{2}}{2})}^{s / t}; (\frac{s}{t} > 1) \end{matrix}

ez pedig azt fejezi ki, hogy a változó

1

-nél nagyobb racionális kitevős hatványa is konvex függvény. Ha viszont

t

-edik hatványra emeltünk, és

x_{1}^{s}

x_{2}^{s}

helyett írunk

z_{1}

z_{2}

-t, akkor a

\begin{matrix} {(\frac{z_{1} + z_{2}}{2})}^{t / s} > \frac{z_{1}^{t / s} + z_{2}^{t / s}}{2} (0 < \frac{t}{s} < 1) \end{matrix}

egyenlőtlenséghez jutunk, ami azt fejezi ki, hogy a változó

1

-nél kisebb pozitív racionális hatványa konkáv.
Nézzük még meg a változó negatív racionális kitevős hatványait is. Legyen

r

pozitív racionális szám, akkor a számtani, mértani és harmónikus közép közti egyenlőtlenség szerint

\begin{matrix} {(\frac{x_{1}^{- r} + x_{2}^{- r}}{2})}^{- 1} < \sqrt[]{x_{1}^{r} x_{2}^{r}} = {(\sqrt[]{x_{1} x_{2}})}^{r} < {(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})}^{r} . \end{matrix}

Pozitív számokról lévén szó mindkét oldal reciprokát vehetjük:

\begin{matrix} \frac{x_{1}^{- r} + x_{2}^{- r}}{2} > {(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})}^{- r}, \end{matrix}

tehát a változó negatív racionális kitevős hatványa mindig konvex.
Állításaink érvényesek minden valós kitevőre, az irracionálisakra is, ennek bizonyításához azonban ismét a folytonosság pontos fogalmára volna szükségünk, amire nem fogunk kitérni.
Az utolsó átalakításban másképpen is alkalmazhatjuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} {(\frac{x_{1}^{- r} + x_{2}^{- r}}{2})}^{- 1} < \sqrt[]{x_{1}^{r} x_{2}^{r}} < \frac{x_{1}^{r} + x_{2}^{r}}{2} \end{matrix}

és innen

1 / r

-edikre emelve

\begin{matrix} {(\frac{x_{1}^{- r} + x_{2}^{- r}}{2})}^{- 1 / r} < \sqrt[]{x_{1} x_{2}} < {(\frac{x_{1}^{r} + x_{2}^{r}}{2})}^{1 / r} \end{matrix}

Ez az egyenlőtlenség azt mondja, hogy a mértani közép a

- r

-edik és

r

-edik hatványközép közé esik, bármilyen racionális szám is

r

.
A hatványközepek közt talált egyenlőtlenségeket mostmár azzal egészíthetjük ki, hogy bármelyik pozitív kitevős hatványközép nagyobb minden negatív kitevőhöz tartozó hatványközépnél, hiszen a mértani közép a kettő közé esik; s így két racionális kitevőhöz tartozó hatványközép közül a nagyobb kitevőhöz tartozó a nagyobb, függetlenül a kitevők előjelétől.