Feladat: 343. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1951/december, 204 - 205. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Bernoulli-féle egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1951/november: 343. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kitevős függvény konvexségéből még egy fontos egyenlőtlenséget olvashatunk le: vegyük az x=0 és x=1 abszcisszájú pontok közti húrt. Az ax függvény értéke e helyeken 1, és a.

 
 

A (0,1), (1,a) pontokon átmenő egyenes x abszcisszájú pontjának ordinátáját az 1+(a-1)x függvény adja meg. Ez az egyenes több pontban nem metszheti a görbét, mert akkor volna olyan húr, amelynek a belsejében is van közös pontja a görbével, ami a konvexség miatt lehetetlen. A görbe tehát a két pont közt a húr alatt van, azon kívül pedig mindig fölötte. Ezt egyenlőtlenség formájában így írhatjuk: ha a≠1, és pozitív, akkor
ax>1+(a-1)x,hax>1és hax<0,
és
ax<1+(a-1)x,ha0<x<1.hax<0.
Célszerűbb a-1-et jelölni egy betűvel, pl. h-val. Ekkor h>-1, h≠0 esetén.
(1+h)x>1+hxhax>1és hax<0,(1+h)x<1+hxha0<x<1.

Ezt az egyenlőtlenséget felfedezőjéről Bernoulli-egyenlőtlenségnek nevezik.