Kezdőlap


Feladat:	342. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1951/december, 203 - 204. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Jensen-féle egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/november: 342. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk pl. a $10^{x}$ függvényt.

\begin{matrix} 10^{\frac{x_{1} + x_{2}}{2}} = \sqrt[]{10^{x_{1}} 10^{x_{2}}} < \frac{10^{x_{1}} + 10^{x_{2}}}{2} \end{matrix}

a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség szerint.

10^{x}

tehát konvex függvény, de ugyanez igaz bármely

1

-től különböző pozitív a szám hatványára is, mert egész hasonlóan

\begin{matrix} a^{\frac{x_{1} + x_{2}}{2}} = \sqrt[]{a^{x_{1}} a^{x_{2}}} < \frac{a^{x_{1}} + a^{x_{2}}}{2} . \end{matrix}

A logaritmus függvényre, ha

x_{1}

és

x_{2}

pozitív,

\begin{matrix} lg (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > lg (\sqrt[]{x_{1} x_{2}}) = \frac{lg x_{1} + lg x_{2}}{2}, \end{matrix}

tehát a tízes alapú logaritmus konkáv függvény. Itt az első lépésben kihasználtuk azt is, hogy az

lg x

függvény értéke csökken, ha

x

csökken. Ez csak

1

-nél nagyobb alapszámú logaritmusra igaz, így ha

a > 1

\begin{matrix} {log}_{}^{} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > {log}_{}^{} (\sqrt[]{x_{1} x_{2}}) = \frac{{log}_{}^{} x_{1} + {log}_{}^{} x_{2}}{2}; \end{matrix}

ha viszont

0 < a < 1

, akkor

\begin{matrix} {log}_{}^{} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < {log}_{}^{} (\sqrt[]{x_{1} x_{2}}) = \frac{{log}_{}^{} x_{1} + {log}_{}^{} x_{2}}{2} . \end{matrix}

A logaritmus függvény tehát

1

-nél nagyobb alapszám esetén konkáv,

1

-nél kisebb alapszám esetén viszont konvex.
A bebizonyított egyenlőtlenségek egyik következménye, hogy a

lg x

függvényre teljesül a súlyozott Jensen-egyenlőtlenség tehát, ha

x_{1}

x_{2}

q_{1}

és

q_{2}

pozitív és

q_{1} + q_{2} = 1

, akkor

\begin{matrix} lg (q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2}) > q_{1} lg x_{1} + q_{2} lg x_{2} . \end{matrix}

Miután

10^{x}

értéke csökkenő

x

-szel csökken, így ugyanilyen egyenlőtlenség áll azok közt a számok közt is, amiknek a bal-, ill. jobboldal a logaritmusa:

\begin{matrix} q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2} = 10^{lg (q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2})} > 10^{q_{1} lg x_{1} + q_{2} lg x_{2}} = x_{1}^{q_{1}} x_{2}^{q_{2}} . \end{matrix}

A baloldalon a két szám súlyozott számtani közepe áll, a jobboldalt nevezzük a súlyozott mértani középnek; (ha

q_{1} = q_{2} = 1 / 2

, akkor éppen a közönséges mértani közepet kapjuk). Azt kaptuk tehát, hogy két szám súlyozott számtani közepe nagyobb az ugyanazon súlyokkal súlyozott mértani középnél. Ha a többtagú súlyozott Jensen-egyenlőtlenséget írjuk fel, akkor ugyanígy kapjuk, hogy akárhány szám súlyozott számtani közepe mindig nagyobb az ugyanazokkal a súlyokkal súlyozott mértani középnél. Ezeket bizony nem volna könnyű a fenti tétel igénybevétele nélkül közvetlenül igazolni.
Ha a nyert egyenlőtlenséget az

y_{1} = 1 / x_{1}

y_{2} = 1 / x_{2}

számokra írjuk fel, akkor azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{q_{1}}{x_{1}} + \frac{q_{2}}{x_{2}} = q_{1} y_{1} + q_{2} y_{2} > y_{1}^{q_{1}} y_{2}^{q_{2}} = {(\frac{1}{x_{1}})}^{q_{1}} {(\frac{1}{x_{2}})}^{q_{2}}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} x_{1}^{q_{1}} x_{2}^{q_{2}} > \frac{1}{(q_{1} / x_{1}) + (q_{2} / x_{2})} . \end{matrix}

A jobboldali mennyiséget nevezzük súlyozott harmonikus középnek. A súlyozott mértani közép tehát a súlyozott számtani és a súlyozott harmonikus közép közé esik.