Feladat:	5363. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Budai Tamás ,  Gábriel Tamás ,  Kertész Balázs ,  Téglás Panna ,  Toronyi András
Füzet:	2022/március, 179 - 180. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Pontrendszer tömegközéppontja, Pontrendszer impulzusa
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2021/november: 5363. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $a)$ Jelöljük a homokóra teljes magasságát $2H$-val. A homokóra megfordítása után $t<t_0$ idő elteltével a felső térfélből $m_0\frac{t}{t_0}$ tömegű homok pergett át az alsóba, így az alsó térfélben $h\frac{t}{t_0}$ magasságú homokhenger alakult ki. Hasonlóképp, a felső tárolóban maradt $m_0(1-\frac{t}{t_0})$ tömegű homokoszlop teteje a homokóra aljától mérve $H+h(1-\frac{t}{t_0})$ magasságban lesz, az alja pedig mindvégig $H$ magasságban marad. Mivel a homok alakját közelíthetjük hengerekkel, az egyes térfelekben lévő homokmennyiség tömegközéppontja (a homokóra aljához viszonyítva) rendre $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{h}{2}\frac{t}{t_0}\text{és}H+\frac{h}{2}\left(1-\frac{t}{t_0}\right)}\end{array}$ magasságban lesz. Ezek szerint a homokóra tömegközéppontjának helyzete $t$ időpillanatban $\begin{array}{c}{\displaystyle s\left(t\right)=\frac{m_{0}H+m_0\frac{t}{t_0}\cdot \frac{h}{2}\frac{t}{t_0}+m_0(1-\frac{t}{t_0})\left(H+\frac{h}{2}[1-\frac{t}{t_0}]\right)}{2m_0}\mathrm{,}}\end{array}$ amit $\begin{array}{c}{\displaystyle s\left(t\right)=s_0+v_{0}t+\frac{a}{2}{t}^2}\end{array}$ alakban is felírhatunk, ahol $\begin{array}{c}{\displaystyle s_0=H+\frac{h}{4}\mathrm{,}{v}_0=-\frac{H+h}{2t_0}\text{és}a=\frac{h}{t_0^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Felismerhetjük, hogy a tömegközéppont mozgása egyenletesen gyorsuló mozgás, amelynek pillanatnyi sebessége $\begin{array}{c}{\displaystyle v\left(t\right)=v_0+at=\frac{h}{t_0^2}t-\frac{H+h}{2t_0}\mathrm{.}}\end{array}$ A tömegközéppont mindvégig lefele mozog, hiszen $v\left(t\right)<0$, de mivel $a>0$, a tömegközéppont függőlegesen felfelé gyorsul. $b)$ Az egész rendszer lendülete a tömegközéppont sebességének és az össztömegnek a szorzata: $\begin{array}{c}{\displaystyle I\left(t\right)=2m_0\left(\frac{h}{t_0^2}t-\frac{H+h}{2t_0}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ $c)$ Az érzékeny mérlegre állított, még ,,működő'' homokórára függőlegesen lefelé $2m_{0}g$ nehézségi erő, függőlegesen felfelé pedig a mérleg által kifejtett $G$ súlyerő hat. A rendszer mozgásegyenlete: $G-2m_{0}g=2m_{0}a$, ahonnan a relatív súlynövekedés $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{G-2m_{0}g}{2m_{0}g}=\frac{a}{g}=\frac{h}{g{t}_0^2}\approx 1\mathrm{,}4\cdot {10}^{-6}\mathrm{.}}\end{array}$ A működő homokóra súlya tehát 0,0014 ezrelékkel nagyobb, mint a már ,,lejárt'' homokóráé.   Téglás Panna (Selye János Gimn., 12. évf.) Révkomárom, Szlovákia