|
Feladat: |
B.5133 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bán-Szabó Áron , Duchon Márton , Fey Dániel , Kercsó-Molnár Anita , Kovács 129 Tamás , Kökényesi Márk Péter , Lőw László , Molnár-Szabó Vilmos , Nádor Benedek , Seres-Szabó Márton , Simon László Bence , Terjék András József , Varga Boldizsár , Virág Rudolf |
Füzet: |
2021/november,
476 - 477. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Térgeometriai bizonyítások |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2020/november: B.5133 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A megoldáshoz használni fogjuk a következő jól ismert tételt, ami Erdős Pál nyomán Happy End-problémaként terjedt el. Azt mondjuk, hogy néhány pont a síkon általános helyzetű, ha nincs köztük három, ami illeszkedik egy egyenesre.
Tétel. Öt általános helyzetű pont közül a síkon mindig kiválasztható négy, amik egy konvex négyszög csúcsai (azaz konvex pozícióban vannak).
Bizonyítás. Legyenek az adott pontok , , , és . Ha a pontok konvex burkának legalább négy csúcsa van, akkor az állítás nyilvánvaló. Feltehetjük tehát, hogy és az belsejében van (lásd ábra).
A pont az , és háromszögek közül pontosan egyben van benne, mondjuk , és így valamint . Nyilvánvalóan az és háromszögek közül legfeljebb (valójában pontosan) egyben van benne, vagyis feltehetjük, hogy . Így , , és pontok konvex burkának és nyilvánvalóan csúcsa, míg és miatt csúcsa és is. Tehát , , és pontok valóban egy konvex négyszög csúcsai, ezzel a tétel állítását beláttuk. Rátérünk a feladat megoldására. Tekintsünk egy olyan síkot, ami a pontok által meghatározott egyenesek egyikével sem párhuzamos, és a pontok mindegyike a sík ugyanazon félterébe esik. Legyen az adott pontok közül az -hez legközelebbi (a feltevés szerint ez a pont egyértelmű), a további pontok , , , és . Jegyezzük meg, hogy a konstrukció miatt az , , , és félegyenesek egyike sem metszi az síkot. Vetítsük le centrálisan az -tól különböző pontokat -ból -re, azaz legyen , , és így tovább. A Happy End-probléma miatt feltehetjük, hogy egy konvex négyszög, a és átlók metszéspontja legyen . A vetítés mellett pontnak a és szakaszokon is van őse, azaz létezik és , amikre . az általánosság megszorítása nélkül feltehető, és így a konstrukció miatt illeszkedik szakaszra, azaz az háromszögnek is belső pontja.
Kaptuk, hogy , ami miatt nyilvánvalóan és háromszögek is metszik egymást. Ezzel az állítást beláttuk.
Nádor Benedek (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 10. évf.) | |
|