Kezdőlap


Feladat:	1969. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Párkány Katalin , Simon Sándor
Füzet:	1970/december, 209 - 210. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Polinomok szorzattá alakítása, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/szeptember: 1969. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy minden $k (> 1)$ természetes szám negyedik hatványa $4$ -szeresének megvan a kívánt tulajdonsága, azaz ha $a = 4 k^{4}$ , akkor az $n^{4} + 4 k^{4}$ szám felbontható olyan két egész szám szorzatára, melyek egyike sem egyenlő $1$ -gyel. Ekkor pedig a szám összetett szám.
Valóban, teljes négyzetté kiegészítéssel két négyzet különbségét kapjuk, ami tovább szorzattá alakítható:

\begin{matrix} z = n^{4} + 4 k^{4} = {(n^{2} + 2 k^{2})}^{2} - 4 n^{2} k^{2} = \\ = (n^{2} + 2 k^{2} - 2 n k) (n^{2} + 2 k^{2} + 2 n k), \end{matrix}

és itt a kisebbik tényező

\begin{matrix} {(n - k)}^{2} + k^{2} \geq 1, \end{matrix}

egyenlőség csak

n - k = 0

és

k = 1

, azaz

n = k = 1

esetén áll fenn. Eszerint végtelen sok

k

és

a = 4 k^{4}

szám felel meg az állításnak.

Simon Sándor (Szolnok, Verseghy F. Gimn., II. o. t. )

Párkány Katalin (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., I. o. t. )