Kezdőlap


Feladat:	5256. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tóth Ábel
Füzet:	2021/február, 109. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Kondenzátorok kapcsolása, Permittivitás (dielektromos állandó)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2020/október: 5256. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kétféle anyag relatív dielektromos állandója $ε_{1}^{(rel)}$ és $ε_{2}^{(rel)}$ . Tudjuk, hogy ha egy $C$ kapacitású kondenzátort egyenletesen kitöltünk $ε^{(rel)}$ relatív dielektromos állandójú anyaggal, akkor a kapacitás $C' = ε^{(rel)} C$ -re változik.
$a)$ Ebben az esetben az elrendezés felfogható két párhuzamosan kapcsolt kondenzátorként, melyek egyike $ε_{1}^{(rel)}$ , másika $ε_{2}^{(rel)}$ relatív dielektromos állandójú anyaggal van kitöltve, hiszen ott is az egyik és másik oldalon lévő fegyverzetek külön-külön össze vannak kötve egymással, és így ekvipotenciálisak, éppen úgy, mint a mi esetünkben. Az így kapott két kondenzátor fegyverzetének területe feleakkora, mint az eredetié, és a kitöltő szigetelőanyagot is figyelembe véve kapacitásaik

\begin{matrix} C_{1} = ε_{1}^{(rel)} \frac{C}{2}, illetve C_{2} = ε_{2}^{(rel)} \frac{C}{2} . \end{matrix}

Az eredő kapacitás párhuzamos kapcsolásnál ezek összege:

\begin{matrix} C' = C_{1} + C_{2} = \frac{ε_{1}^{(rel)} + ε_{2}^{(rel)}}{2} C . \end{matrix}

Ezek szerint a relatív dielektromos állandók számtani közepével szorzódik meg az eredeti kapacitás. Az is könnyen belátható, hogy ha más arányban osztják fel az egyes szigetelők a kondenzátor térfogatát, akkor szorzótényezőnek a súlyozott számtani közepet kapjuk.

b)

Ebben az esetben a kétféle szigetelőanyagot elválasztó felület pontjai ekvipotenciálisak, hiszen a határfelület síkja párhuzamos a fegyverzetekkel. Ha ide két, vezetékkel összekötött, vékony fémlapot rakunk, attól nem változik meg az elektromos tér szerkezete, így sem a töltéselrendeződés, sem az eredő kapacitás nem változhat meg. Így két, különböző szigetelővel kitöltött kondenzátor soros kapcsolását kapjuk. A két új kondenzátor fegyverzetei közti távolság az eredeti érték fele, így a szigetelőanyagok jelenlétét is figyelembe véve a kapacitásuk

\begin{matrix} C_{1} = 2 ε_{1}^{(rel)} C és C_{2} = 2 ε_{2}^{(rel)} C . \end{matrix}

Az eredő kapacitás soros kapcsolásnál:

\begin{matrix} C'' = \frac{1}{\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}}} = \frac{2}{\frac{1}{ε_{1}^{(rel)}} + \frac{1}{ε_{2}^{(rel)}}} C = \frac{2 ε_{1}^{(rel)} ε_{2}^{(rel)}}{ε_{1}^{(rel)} + ε_{2}^{(rel)}} C . \end{matrix}

Ilyenkor tehát a dielektromos állandók harmonikus közepével szorzódik meg az eredeti kapacitás. Ha a kétféle szigetelőanyag nem fele-fele arányban osztja fel a kondenzátor térfogatát, akkor súlyozott harmonikus középként kapjuk meg az eredő kapacitást.

Tóth Ábel (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 12. évf.)