Feladat: B.5089 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Wiener Anna 
Füzet: 2021/február, 91. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Térfogat, Tetraéderek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2020/március: B.5089

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minden tetraéder köré pontosan egy paralelepipedon írható oly módon, hogy a tetraéder mindegyik éléhez odatoljuk a vele szemköztes élt, és az ilyen ‐ most már közös ponton átmenő ‐ élpárok által meghatározott síkok lesznek a paralelepipedon lapjainak síkjai. Ennek a paralelepipedonnak a kitérő lapátlói a tetraéder élei. Ezt a paralelepipedont a tetraéder bennfoglaló paralelepipedonjának nevezzük. Könnyen igazolható, ismert tény, hogy a tetraéder térfogata egyharmada a bennfoglaló paralelepipedon térfogatának.

 

 

A 12 cm-es és 13 cm-es élek a tetraéder kitérő élei, így a bennfoglaló paralelepipedon egyik paralelogramma lapjának átlói az egymásra merőleges C'D' és CD élek. A paralelepipedon e lapjának területe az átlók alapján 12⋅132=78 területegység. A paralelepipedon ehhez a laphoz tartozó magassága éppen a két kitérő él távolsága, tehát a megadott 14 egység. A paralelepipedon térfogata így V=78⋅14 térfogategység. Az eddigiek alapján a tetraéder térfogata ennek harmadrésze, vagyis 78⋅143=364 térfogategység.
 
Wiener Anna (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 8. évf.)
dolgozata alapján