A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Sem , sem nem derékszög, különben a föltevésnek nem volna értelme; továbbá , hiszen hegyesszög. Így (1)-et szorozva -vel, és tagjait és szerint rendezve | | A zárójelekre az addíció-tételt alkalmazva látjuk, hogy egyik a másiknak -szerese, hiszen bennük és koszinusza áll, és e két szög egymás kiegészítő szöge. A föltevés így alakul: | | ami szerint legalább az egyik teljesül a
egyenlőségek közül. Mármost (2)-ből derékszög, így is az, tehát (2) csak esetén teljesül. (3) két oldala pedig a háromszög -ből húzott magassága talppontjának -től, ill. -tól vett távolsága, s mivel a egyenlőség az egyenes pontjai közül csak az oldal felezőpontjára teljesül, és egybevágó derékszögű háromszögek, . Ezek szerint az háromszög mindenképpen egyenlő szárú.
Gyarmati Erzsébet (Budapest, Radnóti M. gyak. g. III. o. t.)
Megjegyzés. (3)-ból a színusz-tétel alkalmazásával is haladhatunk tovább: | |
II. megoldás. (1) szimmetriája miatt választhatjuk a betűzést úgy, hogy , azaz legyen. Nem lehet tompaszög, különben miatt és (1) jobb oldala negatív lenne, holott bal oldala pozitív. Derékszög sem lehet , mert akkor a jobb oldalnak nem lenne értelme. Megmutatjuk, hogy a föltevést (1)-hez csatolva ellentmondásra jutunk. Ekkor , , így -ból kifejtéssel: Adjuk hozzá mindkét oldalhoz a bal oldalt ‐ így a jobb oldal szorzattá alakítható ‐, és osszuk az egyenlőtlenséget -vel. Ekkor a azonosságra tekintettel a bal oldalon (1) jobb oldala áll:
tehát
1. ábra Mérjük föl egy csúcsú derékszög egyik szárára a szakaszt, majd az egyenes ugyanazon oldalára , és szöget, ahol , , rendre az új szár metszéspontja a derékszög másik szárával. Mivel ugyancsak hegyesszög, (4) szerint ahol a szakasz felezőpontja. Ez azonban lehetetlen, mert , így az háromszögben miatt , felezi a szöget, és így | |
Ezt akartuk bizonyítani. Eszerint (1) csak esetén teljesülhet. Ekkor viszont teljesül is, hiszen így pótszöge -nak és -nak, reciproka -nak.
Sugár László (Budapest, I. István g. IV. o. t.)
Megjegyzés. Trigonometriai azonosságok alapján bizonyítjuk, hogy (4) lehetetlen. A jobb oldal így alakítható:
így a bal és jobb oldal különbsége, kiemeléssel | |
Eszerint, mivel a nevező tényezői pozitívok, , ami lehetetlen.
Egri Róbert (Budapest, Fazekas M. gyak. g. III. o. t.)
III. megoldás. Felhasználjuk a II. megoldásból, hogy és hegyesszögek. Azt mutatjuk meg, hogy esetén az (1)-ből átrendezéssel adódó | | (5) | egyenlőség bal oldala nagyobb a jobb oldalánál.
2. ábra Rajzoljuk meg az háromszög csúcsában a külső szög felezőjét, és körülírt kör érintőjét, valamint a -vel -ban átellenes pontot -val és -vel összekötő , ill. egyenest. és különbözők, mert metszi -t, a -t tartalmazó ív felezőpontjában, ami -től különböző (különben ugyanis lenne); az -t nem tartalmazó ív pontja. a -t nem tartalmazó ív belső pontja, különben nem állhatna , , merőleges -re, pedig -ra. Legyen és metszéspontja -vel , ill. , -fel , ill. . Fennáll | | utóbbiak azért, mert egyenlő szárú háromszög, ugyanis -nél levő szögét felezi a egyenes, és oldala merőleges erre, továbbá a -nél levő szöge . A keletkezett derékszögű háromszögek felhasználásával
azaz (5) bal, ill. jobb oldala. Messe a -n átmenő, -val párhuzamos egyenes -et -ben. Ekkor , ugyanis és hasonló háromszögek, és bennük , mert ‐ mint láttuk ‐ felezi -t, és az szakasz belső pontja. Másrészt , mert a háromszög velük szemben fekvő szögeire | | Így valóban , amit bizonyítani akartunk. Azt viszont hogy esetén teljesül (1), a II. megoldásban beláttuk. |