Kezdőlap


Feladat:	B.5031	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Fraknói Ádám
Füzet:	2020/november, 476. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/május: B.5031

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A D = B C = a$ és $A F = λ \cdot a$ . Így

\begin{matrix} D F = (λ - 1) \cdot a . \end{matrix}

A F E

és

C B E

háromszögek hasonlók, mert megfelelő oldalaik párhuzamosak (illetve egymás meghosszabbításai). A hasonlósági arány

\frac{A F}{B C} = \frac{λ a}{a} = λ

. Ebből következően

\frac{F E}{B E} = λ

, amiből

\begin{matrix} \frac{B F}{B E} = \frac{B E + E F}{B E} = λ + 1, tehát \frac{1}{B E} = \frac{λ + 1}{B F} . \end{matrix}

F A B

és

F D G

háromszögek szintén hasonlók, mert megfelelő oldalaik párhuzamosak. A hasonlósági arány

\begin{matrix} \frac{G F}{B F} = \frac{D F}{A F} = \frac{(λ - 1) a}{λ a} = \frac{λ - 1}{λ}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} \frac{B G}{B F} = \frac{B F - G F}{B F} = \frac{λ - (λ - 1)}{λ} = \frac{1}{λ}, tehát \frac{1}{B G} = \frac{λ}{B F} . \end{matrix}

A fentieket a bizonyítandó

\frac{1}{B E} = \frac{1}{B G} + \frac{1}{B F}

egyenlőségbe behelyettesítve:

\begin{matrix} \frac{λ + 1}{B F} = \frac{λ}{B F} + \frac{1}{B F} . \end{matrix}

Mivel

B F \neq 0

, ez valóban igaz.

Fraknói Ádám (Jedlik Ányos Gimn., Budapest, 12. évf.) dolgozata alapján