Kezdőlap


Feladat:	5233. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Vakaris Klyvis
Füzet:	2020/november, 504 - 505. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgási energia, Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2020/május: 5233. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az elugró levelibéka kezdősebességének vízszintes komponensét $v_{x}$ -szel, a függőleges összetevőt $v_{y}$ -nal, a mozgás idejét pedig $t$ -vel. A ferde hajítás képletei szerint

\begin{matrix} v_{x} t = s és h = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{y} t, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} v_{x} = \frac{s}{t} és v_{y} = \frac{h + (g / 2) t^{2}}{t} = \frac{h}{t} + \frac{g}{2} t . \end{matrix}

Ezek segítségével kiszámíthatjuk a béka elrugaszkodásakor végzett munkáját, ami a kezdeti mozgási energiájával egyenlő:

\begin{matrix} E = \frac{m}{2} (v_{x}^{2} + v_{y}^{2}) . \end{matrix}

Ennek a kifejezésnek keressük a minimumát a

t

változó függvényében. A minimum ,,helye'' szempontjából az

m / 2

-es tényező érdektelen, tehát elhagyható. Tekintsük a

\begin{matrix} v_{x}^{2} + v_{y}^{2} = {(\frac{s}{t})}^{2} + {(\frac{h}{t} + \frac{g}{2} t)}^{2} = \frac{s^{2} + h^{2}}{t^{2}} + \frac{g^{2} t^{2}}{4} + g h \end{matrix}

kifejezést! Az utolsó tag

t

-től független állandó, tehát a minimum keresésénél elhagyhatjuk. Másrészt a számtani és mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenség szerint

\begin{matrix} \frac{s^{2} + h^{2}}{t^{2}} + \frac{g^{2} t^{2}}{4} \geq 2 \sqrt[]{\frac{s^{2} + h^{2}}{t^{2}} \cdot \frac{g^{2} t^{2}}{4}} = g \frac{\sqrt[]{s^{2} + h^{2}}}{g} . \end{matrix}

Az egyenlőség a legkisebb elrugaszkodási energiának felel meg, amihez tartozó

t = t_{0}

időtartamra

\begin{matrix} \frac{s^{2} + h^{2}}{t_{0}^{2}} = \frac{g^{2} t_{0}^{2}}{4}, t_{0}^{2} = 2 \frac{\sqrt[]{s^{2} + h^{2}}}{g} . \end{matrix}

A levelibéka kezdősebességének a vízszintessel bezárt

α

szögére (vagyis az elrugaszkodás irányára) fenáll:

\begin{matrix} tg α = \frac{v_{y}}{v_{x}} = \frac{\frac{h}{t_{0}} + \frac{g}{2} t_{0}}{\frac{s}{t_{0}}} = \frac{h}{s} + \frac{g}{2 s} t_{0}^{2} = \frac{h}{s} + \frac{\sqrt[]{h^{2} + s^{2}}}{s}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} α = arctg \frac{h + \sqrt[]{h^{2} + s^{2}}}{s} . \end{matrix}

(

h = 0

esetén a jól ismert

α = 45^{\circ}

-os eredményt kapjuk.)
Az elugrás sebességének nagysága (optimális esetben):

\begin{matrix} v = \sqrt[]{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt[]{\frac{h^{2} + s^{2}}{t_{0}^{2}} + \frac{g^{2} t_{0}^{2}}{4} + g h} = \sqrt[]{g (\sqrt[]{s^{2} + h^{2}} + h)} . \end{matrix}

Vakaris Klyvis (Brüsszel, Belgium, 12. évf.)