Kezdőlap


Feladat:	5227. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Endrész Balázs
Füzet:	2020/november, 502 - 504. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Ellenállások kapcsolása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2020/április: 5227. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Két dobozból veszünk ki ellenállásokat. Mivel egy-egy dobozban 5 ellenállás van, a választási lehetőségek száma mindkét esetben $5^{2} = 25$ .
$a)$ Soros kapcsolás esetében az ellenállások összeadódnak.
A 2 k $Ω$ -os eredő csak egyféleképpen kapható meg: ha mindegyik dobozból 1 k $Ω$ -os ellenállást veszünk ki. Ugyanez a helyzet a 10 k $Ω$ -os eredménnyel, az csak $5 k Ω + 5 k Ω$ esetén valósítható meg. Ezek valószínűsége (a kedvező lehetőségek száma osztva az összes lehetőség számával):

\begin{matrix} p_{2} = p_{10} = \frac{1}{25} = 0, 04 = 4 % . \end{matrix}

p

-vel jelölt valószínűség indexe a soros eredő kiloohmban mért értékére utal.)
A 3 k

Ω

-os eredőre már két lehetőségünk van (

1 k Ω + 2 k Ω

vagy

2 k Ω + 1 k Ω

). A 9 k

Ω

-os eredő ellenállás is kétféleképpen állhat elő (

4 k Ω + 5 k Ω

vagy

5 k Ω + 4 k Ω

), ezek valószínűsége tehát

\begin{matrix} p_{3} = p_{9} = \frac{2}{25} = 0, 08 = 8 % . \end{matrix}

A 4 k

Ω

-os eredőhöz háromféle választás vezethet (

1 k Ω + 3 k Ω

vagy

3 k Ω + 1 k Ω

vagy

2 k Ω + 2 k Ω

), és ugyancsak háromféleképpen állhat elő a 8 k

Ω

-os eredő (

3 k Ω + 5 k Ω

vagy

5 k Ω + 3 k Ω

vagy

4 k Ω + 4 k Ω

). Ezek valószínűsége:

\begin{matrix} p_{4} = p_{8} = \frac{3}{25} = 0, 12 = 12 % . \end{matrix}

Hasonló módon kapjuk, hogy

\begin{matrix} p_{5} = p_{7} = \frac{4}{25} = 0, 16 = 16 %, \end{matrix}

és végül (mivel 6 k

Ω

-os eredő ötféleképpen állítható elő)

\begin{matrix} p_{6} = \frac{5}{25} = 0, 20 = 20 % . \end{matrix}

Így valóban minden lehetőséget figyelembe vettünk, hiszen

\begin{matrix} 4 % + 8 % + 12 % + 16 % + 20 % + 16 % + 12 % + 8 % + 4 % = 100 % . \end{matrix}

b)

Párhuzamos kapcsolás esetében az eredő ellenállás a kapcsolás bármelyik ellenállásánál kisebb értékű.
Az eredő ellenállás képlete:

\begin{matrix} \frac{1}{R_{e}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}, ebből R_{e} = \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} . \end{matrix}

A 30 k

Ω

-os eredőt csak nála nagyobb értékű ellenállások párhuzamos kapcsolásával kaphatunk. Erre csak egyetlen egy lehetőség van: mindkét dobozból a 60 k

Ω

-os ellenállást húzzuk ki. Ez jó választás, hiszen

\begin{matrix} R_{e} = \frac{60 k Ω \cdot 60 k Ω}{60 k Ω + 60 k Ω} = 30 k Ω . \end{matrix}

Eszerint a valószínűség:

\begin{matrix} p_{30} = \frac{1}{25} = 0, 04 = 4 % . \end{matrix}

A 20 k

Ω

-os eredőt csak a nála nagyobb, vagyis a 30 és/vagy a 60 kiloohmos ellenállásból kaphatjuk meg. Ez kétféleképpen valósulhat meg:

\begin{matrix} R_{e} = \frac{30 k Ω \cdot 60 k Ω}{30 k Ω + 60 k Ω} = 20 k Ω \end{matrix}

és

\begin{matrix} R_{e} = \frac{60 k Ω \cdot 30 k Ω}{60 k Ω + 30 k Ω} = 20 k Ω . \end{matrix}

(A két egyforma ellenállás eredője vagy nagyobb, vagy kisebb lenne

20 k Ω

-nál.) A kérdéses valószínűség:

\begin{matrix} p_{20} = \frac{2}{25} = 0, 08 = 8 % . \end{matrix}

Hasonló módon láthatjuk be, hogy

\begin{matrix} p_{15} & = \frac{3}{25} = 0, 12 = 12 %, \\ p_{12} & = \frac{4}{25} = 0, 16 = 16 %, \end{matrix}

és végül

\begin{matrix} p_{10} = \frac{5}{25} = 0, 2 = 20 % . \end{matrix}

A fenti esetek a

10 k Ω

-nál nem kisebb eredőjű kapcsolások mindegyikét tartalmazzák, így

p_{\geq 10} = p_{30} + p_{20} + p_{15} + p_{12} + p_{10} = 0, 6 = 60 %

. Annak valószínűsége, hogy az eredő ellenállás

10 k Ω

-nál kisebb, a ,,hiányzó'' 40%-kal egyenlő:

\begin{matrix} p_{< 10} = 1 - p_{\geq 10} = 0, 4 = 40 % . \end{matrix}

Endrész Balázs (Pápa, Türr István Gimn. és Koll., 12. évf.)

dolgozata felhasználásával

Megjegyzés: Az első esetben az ellenállások nagysága, a második esetben pedig az ellenállások reciprokának nagysága számtani sorozatot alkot. Ez tette lehetővé, hogy különböző ellenálláspárok eredője éppen ugyanakkorának bizonyuljon. (G. P.)