Kezdőlap


Feladat:	5216. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bokor Endre , Fekete András Albert , Sas Mór , Szabó László , Toronyi András
Füzet:	2020/november, 496 - 498. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, I. főtétel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2020/március: 5216. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a tartály és a dugattyú is jó hőszigetelő, kívül pedig vákuum van, ezért az általunk végzett $W$ munka a dugattyú megállása után két helyre kerülhet: növelheti a gáz belső energiáját és növelheti a dugattyú helyzeti energiáját.
Jelöljük a gáz kezdeti nyomását $p_{0}$ -lal, a kezdeti térfogatát $V_{0}$ -lal. A dugattyú tömege legyen $m$ , keresztmetszete pedig $A$ . Ekkor a dugattyú által a gázra kifejtett nyomás:

\begin{matrix} p_{dugattyú} = \frac{m g}{A} . \end{matrix}

Kezdetben a dugattyú egyensúlyban volt, kívül pedig vákuum van, így

\begin{matrix} p_{0} = p_{dugattyú} = \frac{m g}{A} . \end{matrix}

Miután létrejött az új egyensúlyi helyzet, a gáz nyomása

p_{1}

, a térfogata

V_{1}

és a hőmérséklete

T_{1}

értékekre változik. Mivel kívül még mindig vákuum van, ezért a gáznak ebben az új egyensúlyi helyzetben is csak a dugattyút kell tartania, tehát a gáz nyomása:

\begin{matrix} p_{1} = p_{dugattyú} = p_{0} = \frac{m g}{A} . \end{matrix}

Az ideális gáz belső energiája:

\begin{matrix} E_{belső} = \frac{f}{2} p V, \end{matrix}

ahol

f

a gázmolekulák szabadsági fokainak száma.
Miután a csillapodó rezgőmozgást végző dugattyú végül megáll, az általunk végzett

W

munka valamennyivel növeli a gáz belső energiáját. Mivel a gáz nyomása az új egyensúlyi helyzetben ugyanannyi, mint kezdetben volt, a gáz térfogatának meg kellett nőnie, vagyis a dugattyú megemelkedik, és emiatt a gravitációs helyzeti energiája is megnő.
A dugattyú megemelkedése az eredeti helyzetéhez képest legyen

Δ h

. Ekkor a helyzeti energiájának növekedése

\begin{matrix} Δ E_{helyzeti} = m g Δ h, \end{matrix}

(1)

a gáz belső energiájának növekedése pedig

\begin{matrix} Δ E_{belső} = \frac{f}{2} Δ (p V) = \frac{f}{2} p_{0} Δ V, \end{matrix}

(2)

ahol

Δ V = V_{1} - V_{0} = A Δ h

a gáz térfogatváltozása.
Az általunk végzett

W

munka a kétféle energiaváltozás összegével egyezik meg:

\begin{matrix} W = Δ E_{helyzeti} + Δ E_{belső} . \end{matrix}

(3)

Helyettesítsük be az (1) és (2) egyenleteket a (3)-ba, majd alakítsuk át:

\begin{matrix} W = m g Δ h + \frac{f}{2} p_{0} Δ V = \frac{m g}{A} A Δ h + \frac{f}{2} p_{0} Δ V = p_{0} Δ V + \frac{f}{2} p_{0} Δ V, \end{matrix}

ami így is felírható:

\begin{matrix} W = (\frac{f}{2} + 1) p_{0} (V_{1} - V_{0}) = (\frac{f}{2} + 1) (p_{0} V_{1} - p_{0} V_{0}) . \end{matrix}

(4)

Használjuk fel az ideális gáz állapotegyenletét a kezdeti és az új egyensúlyi helyzetre.

\begin{matrix} p_{0} V_{0} & = n R T_{0}, & (5) \\ p_{0} V_{1} & = n R T_{1}, & (6) \end{matrix}

ahol

R

az egyetemes gázállandó. Helyettesítsük be (4)-be az (5) és (6) egyenleteket:

\begin{matrix} W = (\frac{f}{2} + 1) (n R T_{1} - n R T_{0}) = (\frac{f}{2} + 1) n R (T_{1} - T_{0}) . \end{matrix}

A tartályban levegő van, aminek

f = 5

a szabadsági foka, tehát:

\begin{matrix} T_{1} = \frac{2 W}{(f + 2) n R} + T_{0} = \frac{2 W}{7 n R} + T_{0} . \end{matrix}

Ez az eredmény akkor sem változik, ha a dugattyút ugyanennyi munkavégzéssel nem megemeljük, hanem lenyomjuk, hiszen a

W > 0

munka ekkor is csak a gáz belső energiáját és a dugattyú helyzeti energiáját növeli. (A tartály és a dugattyú jó hőszigetelő, ezért a rendszer nem ad le hőt, továbbá a külső térben nincs gáz, így annak mozgásba hozatalával és a mozgási energiájának esetleges megnövelésével sem kell foglalkoznunk.) Tehát a lenyomott dugattyú esetében ‐ a rezgések lecsillapodása után ‐ ugyanaz az egyensúlyi helyzet alakul ki, mint a megemelt dugattyúnál, vagyis

\begin{matrix} T_{1} = \frac{2 W}{7 n R} + T_{0} \end{matrix}

lesz a tartályban lévő levegő hőmérséklete az új egyensúlyi állapotban.

Toronyi András (Budapest, Baár-Madas Ref. Gimn., 10. évf.)