Van ilyen polinom. Legyen $p\left(x\right)=\prod _{i=1}^{100}\left(x-i\right)$. Ekkor $p\left(p\left(x\right)\right)$ gyökei a $p\left(x\right)-i$ ($i=\mathrm{1,2,}\text{...}100$) polinomok gyökei. Két ilyen különböző polinomnak nem lehet közös $x_0$ gyöke, hiszen $p\left(x_0\right)-i=p\left(x_0\right)-j$ nem teljesülhet különböző $i$, $j$ esetén. Ezért elég azt belátni, hogy mind a száz polinomnak van száz különböző gyöke. Mivel a polinomok folytonos függvények, ezért ha $a<b$ és $f\left(a\right)$ és $f\left(b\right)$ előjele különböző, akkor az $f$ polinomnak $a$ és $b$ között van gyöke. Azt fogjuk belátni, hogy ha $n$ páros, és $0\le n\le 100$, akkor $p\left(n+\mathrm{0,5}\right)>100$, ha pedig $n$ páratlan, akkor $p\left(n+0\mathrm{,}5\right)<-100$. Az $S=\prod _{i=1}^{100}\left(n+\mathrm{0,5}-i\right)$ szorzatban $100-n$ darab negatív tényező van, és a $100-n$ az $n$-nel megegyező paritású. Ezért elég azt belátni, hogy $|S|>100$. A szorzatban legfeljebb két olyan tényező szerepel, amelynek az abszolút értéke legfeljebb 0,5, és legalább 96 olyan van, aminek legalább 2. Ezért a szorzat abszolút értéke legalább $0\mathrm{,}5\cdot 0\mathrm{,}5\cdot 2^{96}=2^{94}>2^7>128>100$. Így páros $n$-re $p\left(n+0\mathrm{,}5\right)-i>0$, páratlanra pedig $p\left(n+0\mathrm{,}5-i\right)-i<0$. Ebből következik, hogy ha $0\le n\le 99$, akkor $n+0\mathrm{,}5$ és $n+0\mathrm{,}5+1$ között van gyöke $p\left(x\right)-i$-nek, és így van 100 különböző gyöke.