Kezdőlap


Feladat:	B.5059	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Németh Márton
Füzet:	2020/október, 414 - 415. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Rekurzív sorozatok, Sorozatok monotonitása, korlátossága
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/november: B.5059

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Belátjuk, hogy ha $[x + \sqrt[]{x}] = a_{i}$ , akkor $a_{i - 1} = x$ . Az $x$ -re igaz a rekurzív feltétel, továbbá $y > x$ -re $[y + \sqrt[]{y}] > [x + \sqrt[]{x}]$ (a lineáris rész 1-gyel nő, a gyökös rész szigorúan monoton nő), $y < x$ -re $[y + \sqrt[]{y}] < [x + \sqrt[]{x}]$ , tehát $x$ az egyetlen lehetőség: a sorozat bármelyik eleme tehát egyértelműen meghatározza a korábbiakat.
Így megkeresve a számokat, a sorozat korábbi, 2019 előtti elemei sorrendben: 1805, 1847, 1889, 1932, 1975, 2019, melyek egyike sem négyzetszám (gyökeik megközelítő értéke rendre: 42,4853; 42,9767; 43,4626; 43,9545; 44,441; 44,9333). Mivel $1764 + \sqrt[]{1764} > 1805$ , $1763 + \sqrt[]{1763} < 1805$ , valóban nincs korábbi eleme a sorozatnak. Így a korábbi tagok között nincs négyzetszám.

Megmutatjuk, hogy ha van egy négyzetszám a sorozatban, akkor a sorozat egy alkalmas későbbi eleme is négyzetszám, tehát végtelen sok négyzetszám van a sorozatban. Pontosabban: Ha

a_{i} = b^{2}

, akkor

a_{i + 2 b + 1} = {(2 b)}^{2}

. Ugyanis a sorozat következő három eleme rendre

a_{i + 1} = b^{2} + b

a_{i + 2} = b^{2} + 2 b

a_{i + 3} = b^{2} + 3 b

lesz (hiszen

b^{2} + \sqrt[]{b^{2}} = b^{2} + b

b^{2} < b^{2} + b < b^{2} + 2 b < b^{2} + 2 b + 1 = {(b + 1)}^{2}

, és így

b^{2} + b

és

b^{2} + 2 b

gyökének egész része is

b

). Azaz

a_{i + 3} = {(b + 1)}^{2} + b - 1

. A

c

-re vonatkozó indukcióval belátjuk, hogy

a_{i + 1 + 2 c} = {(b + c)}^{2} + b - c

, ha

0 < c < b + 1

. Ez

c = 1

-re igaz; tegyük fel, hogy

a_{i + 1 + 2 c} = {(b + c)}^{2} + b - c

. Ekkor

\begin{matrix} a_{i + 1 + 2 c + 1} = {(b + c)}^{2} + b - c + b + c = {(b + c)}^{2} + 2 b \end{matrix}

és

\begin{matrix} a_{i + 1 + 2 c + 2} = a_{i + 1 + 2 (c + 1)} = {(b + c)}^{2} + 2 b + b + c = {(b + c + 1)}^{2} + b - (c + 1) \end{matrix}

(hiszen

{(b + c)}^{2} + b - c < {(b + c)}^{2} + 2 b < {(b + c)}^{2} + 2 b + 2 c + 1 = {(b + c + 1)}^{2}

). Tehát az állítás teljesül

(c + 1)

-re is. Helyettesítsünk be

c = b

-t, ezzel megkapjuk a fenti állítást.
A sorozat elemei 2019 után: 2019, 2063, 2108, 2153, 2199, 2245, 2292, 2339, 2387, 2435, 2484, 2533, 2583, 2633, 2684, 2735, 2787, 2839, 2892, 2945, 2999, 3053, 3108, 3163, 3219, 3275, 3332, 3389, 3447, 3505, 3564, 3623, 3683, 3743, 3804, 3865, 3927, 3989, 4052, 4115, 4179, 4243, 4308, 4373, 4439, 4505, 4572, 4639, 4707, 4775, 4844, 4913, 4983, 5053, 5124, 5195, 5267, 5339, 5412, 5485, 5559, 5633, 5708, 5783, 5859, 5935, 6012, 6089, 6167, 6245, 6324, 6403, 6483, 6563, 6644, 6725, 6807, 6889.
Mivel

6889 = 83^{2}

, a fentiek szerint végtelen sok négyzetszám van a sorozatban.

Németh Márton (Nagykanizsa, Batthyány L. Gimn., 9. évf.)