Kezdőlap


Feladat:	5235. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gnädig Péter , Horváth Anikó
Füzet:	2020/október, 440 - 441. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Hő, p arányos V-vel, Izobár állapotváltozás (Gay-Lussac I. törvénye)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2020/május: 5235. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$a)$ Tudjuk, hogy $T_{A} = T_{C} = T_{1} = 280 K$ és $T_{B} = 4 T_{1} = 1120 K$ . A $P B$ egyenes átmegy az origón, így az egyenlete:

\begin{matrix} p (V) = k \cdot V . \end{matrix}

Az egyenes pontjaira felírt állapotegyenlet:

\begin{matrix} p (V) V = k \cdot V^{2} = n R T, tehát V = \sqrt[]{\frac{n R T}{k}} . \end{matrix}

Mivel

P

B C

szakasz felezőpontja, a ,,vízszintes'' koordinátákra igaz:

\begin{matrix} V_{P} & = \frac{V_{C} + V_{B}}{2}, \\ \sqrt[]{\frac{n R T_{P}}{k}} & = \frac{\sqrt[]{\frac{n R T_{C}}{k}} + \sqrt[]{\frac{n R T_{B}}{k}}}{2}, \\ 4 n R T_{P} & = n R T_{C} + n R T_{B} + 2 n R \sqrt[]{T_{C} T_{B}}, \\ T_{P} & = \frac{1}{4} (T_{1} + 4 T_{1} + 2 \sqrt[]{4 T_{1} T_{1}}) = \frac{9}{4} T_{1} . \end{matrix}

Eszerint a gáz hőmérséklete a

P

állapotban

630 K

b)

A folyamatban egyatomos ideális gáz vesz részt, ezért a szabadsági fokok száma

f = 3

. Az

A P

állapotváltozás izobár, amelyre a hőtan I. főtétele így alkalmazható:

\begin{matrix} Δ E_{A P} & = W_{A P} + Q_{A P}, \\ \frac{f}{2} n R (T_{P} - T_{A}) & = - p_{A} (V_{P} - V_{A}) + Q_{A P}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} Q_{A P} & = \frac{f}{2} n R (T_{P} - T_{1}) + p_{A} V_{P} - p_{A} V_{A} = \frac{f}{2} n R (T_{P} - T_{1}) + p_{P} V_{P} - n R T_{A} = \\ = \frac{3}{2} n R (T_{P} - T_{1}) + n R T_{P} - n R T_{1} = \frac{5}{2} n R (T_{P} - T_{1}) . \end{matrix}

P B

folyamatban a gázon végzett munkát a

P B

szakasz ,,alatti'' trapéz területe adja meg:

\begin{matrix} Δ E_{P B} & = W_{P B} + Q_{P B}, \\ \frac{f}{2} n R (T_{B} - T_{P}) & = - \frac{p_{P} + p_{B}}{2} (V_{B} - V_{P}) + Q_{P B}, \\ Q_{P B} & = \frac{f}{2} n R (T_{B} - T_{P}) + \frac{1}{2} (p_{P} V_{B} + p_{B} V_{B} - p_{P} V_{P} - p_{B} V_{P}) = \\ = \frac{f}{2} n R (4 T_{1} - T_{P}) + \frac{1}{2} (p_{P} V_{B} - p_{B} V_{P}) + \frac{1}{2} n R (T_{B} - T_{P}) = \\ = \frac{f + 1}{2} n R (4 T_{1} - T_{P}) + \frac{1}{2} (p_{P} V_{B} - p_{B} V_{P}) . \end{matrix}

P B

egyenes egyenletét felhasználva látszik, hogy

\begin{matrix} p_{P} V_{B} - p_{B} V_{P} = k V_{P} V_{B} - k V_{P} V_{B} = 0, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} Q_{P B} = \frac{f + 1}{2} n R (4 T_{1} - T_{P}) + 0 = 2 n R (4 T_{1} - T_{P}) . \end{matrix}

Az összes felvett hő:

\begin{matrix} Q = Q_{A P} + Q_{P B} = \frac{5}{2} n R (T_{P} - T_{1}) + 2 n R (4 T_{1} - T_{P}) = n R (\frac{11}{2} T_{1} + \frac{1}{2} T_{P}) . \end{matrix}

Behelyettesítve az

n = 2

R = 8, 31 J / (mol K)

T_{1} = 280 K

és

T_{P} = 630 K

értékeket, azt kapjuk, hogy az

A \to P \to B

folyamatban összesen

Q = 30, 8 kJ

hőt vesz fel a gáz.

Horváth Anikó (Szeged, Radnóti M. Kísérleti Gimn., 11. évf.)

Megjegyzés. A keresett mennyiségek (

T_{P}

és

Q

) egyike sem függ a

C B

egyenes meredekségét jellemző

k

állandótól. Ezt ‐ az első pillanatban meglepőnek tűnő ‐ tényt a hosszú számolás elvégzése nélkül is beláthatjuk, ha felírjuk az ismert és a keresett mennyiségek mértékegységét. Mivel

k

mértékegysége J/m

^{6}

, és a méter egyetlen más fizikai mennyiség dimenziójában nem szerepel,

T_{P}

és

Q

nem függhet

k

-tól.
(G. P.)