Kezdőlap


Feladat:	1964. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1965/február, 49. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Prímtényezős felbontás, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/szeptember: 1964. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kérdéses négyzetszám $n^{2}$ és jelöljük a középső két jegyéből alkotott számot $x$ -szel. Így a két szélső kétjegyű szám $2 x$ , ezért

\begin{matrix} 10 ≦ 2 x < 100, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} 5 ≦ x < 50, \end{matrix}

(1)

másrészt

\begin{matrix} n^{2} = 2 x \cdot 10^{4} + x \cdot 10^{2} + 2 x = 20 102 x = 2 \cdot 19 \cdot 23^{2} \cdot x . \end{matrix}

Egy négyzetszámot különböző törzsszámok hatványainak szorzataként előállítva minden kitevő páros. Ezért

x

ilyen előállításában a 2 és 19 törzsszámok páratlan kitevővel szerepelnek, s így a kitevőjük legalább 1, viszont minden más törzsszámhatványban páros szám a kitevő. Eszerint 2 és 19 első hatványát különválasztva, a többieket pedig összefoglalva

x

így írható:

\begin{matrix} x = 2 \cdot 19 \cdot k^{2} = 38 k^{2}, és így n^{2} = {(2 \cdot 19 \cdot 23 \cdot k)}^{2}, \end{matrix}

ahol

k

egész szám. (1) csak

k = 1

esetén teljesül, így az egyetlen lehetséges megoldás:

\begin{matrix} n^{2} = {(2 \cdot 19 \cdot 23)}^{2} = 874^{2} = 763 876. \end{matrix}

Ez valóban meg is felel a feladat követelményeinek.