Feladat:	B.5095	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Fülöp Csilla ,  Hervay Bence ,  Mácsai Dániel
Füzet:	2020/szeptember, 350 - 351. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Prímtényezős felbontás, Számelmélet, Oszthatóság
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2020/április: B.5095

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Indirekten tegyük fel, hogy az egyik tag nem egész. Mivel $a$, $b$ és $c$ szerepe felcserélhető, föltehetjük, hogy például az első tag, $\frac{ab}{c}$ nem egész. Ez azt jelenti, hogy van olyan $p$ prím, ami a nevező kanonikus alakjában magasabb kitevőn van, mint a számlálóban. Jelölje rendre $x$, $y$ és $z$ a $p$ legmagasabb hatványának a kitevőjét, amivel $a$, $b$ illetve $c$ osztható. Ekkor az $\frac{ab}{c}$ tört számlálójának prímtényezős alakjában a $p$ kitevője $x+y$, a nevezőjében $z$, és indirekt feltevésünk értelmében $z>x+y$. A három tört összege $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^{2}c}{abc}=\frac{a^2{b}^2+c^2\left(a^2+b^2\right)}{abc}\mathrm{.}}\end{array}$ Ez a tört egész, azaz a nevező osztja a számlálót. A számláló első tagjában $p$ kitevője $2x+2y$, $c^2$-ben $2z$, $\left(a^2+b^2\right)$-ben pedig legalább $\underset{}{\overset{}{\text{min}}}\left(2x\mathrm{,2}y\right)$; így $c^2\left(a^2+b^2\right)$ kanonikus alakjában a $p$ kitevője legalább $\begin{array}{c}{\displaystyle 2z+\underset{}{\overset{}{\text{min}}}\left(2x\mathrm{,2}y\right)\ge 2z>2x+2y\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből következik, hogy a tört számlálójában a $p$ maximális kitevője $2x+2y$. A tört nevezőjében viszont $p$ maximális kitevője $x+y+z>2x+2y$, ami ellentmondás.    Fülöp Csilla (Szegedi Radnóti Miklós Kís. Gimn., 9. évf.)     II. megoldás. Az ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left(x-\frac{ab}{c}\right)\left(x-\frac{bc}{a}\right)\left(x-\frac{ca}{b}\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =x^3-\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)x^2+\left(\frac{ab}{c}\cdot \frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\cdot \frac{ca}{b}+\frac{bc}{a}\cdot \frac{ca}{b}\right)x-\frac{ab}{c}\cdot \frac{bc}{a}\cdot \frac{ca}{b}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =x^3-\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)x^2+\left(a^2+b^2+c^2\right)x-abc}\hfill \end{array}}$ egész együtthatós polinom főegyütthatója 1, racionális gyökei pedig $\frac{ab}{c}$, $\frac{ac}{b}$ és $\frac{bc}{a}$. A Rolle-tétel (racionális gyökteszt)1 miatt ezek a gyökök egészek is, ami éppen a feladat állítása.    Hervay Bence (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. évf.),  Mácsai Dániel (Keszthelyi Vajda J. Gimn., 11. évf.) 1http://math.bme.hu/ nagyat/rolle.pdf