A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Indirekten tegyük fel, hogy az egyik tag nem egész. Mivel , és szerepe felcserélhető, föltehetjük, hogy például az első tag, nem egész. Ez azt jelenti, hogy van olyan prím, ami a nevező kanonikus alakjában magasabb kitevőn van, mint a számlálóban. Jelölje rendre , és a legmagasabb hatványának a kitevőjét, amivel , illetve osztható. Ekkor az tört számlálójának prímtényezős alakjában a kitevője , a nevezőjében , és indirekt feltevésünk értelmében . A három tört összege | |
Ez a tört egész, azaz a nevező osztja a számlálót. A számláló első tagjában kitevője , -ben , -ben pedig legalább ; így kanonikus alakjában a kitevője legalább Ebből következik, hogy a tört számlálójában a maximális kitevője . A tört nevezőjében viszont maximális kitevője , ami ellentmondás.
Fülöp Csilla (Szegedi Radnóti Miklós Kís. Gimn., 9. évf.)
II. megoldás. Az
egész együtthatós polinom főegyütthatója 1, racionális gyökei pedig , és . A Rolle-tétel (racionális gyökteszt) miatt ezek a gyökök egészek is, ami éppen a feladat állítása.
Hervay Bence (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. évf.), Mácsai Dániel (Keszthelyi Vajda J. Gimn., 11. évf.) http://math.bme.hu/ nagyat/rolle.pdf |
|