Kezdőlap


Feladat:	B.5001	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lovas Márton
Füzet:	2020/szeptember, 349 - 350. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Egybevágósági transzformációk
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/január: B.5001

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a háromszög alapja $B C$ , szárainak metszéspontja $A$ , szárszöge $α$ , a tükörképpontok $A'$ , $B'$ , $C'$ , a magasságok talppontjai pedig $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ .
Kétféleképpen helyezkedhet el a tükrözéssel kapott háromszög az eredetihez képest, aszerint, hogy $α$ kisebb vagy nagyobb, mint $60^{\circ}$ . (Amennyiben $α = 60^{\circ}$ , a háromszög szabályos, a tükrözések után egy kétszer akkora háromszöget kapunk, mindkét arány pontosan 2.)
1. eset: $α < 60^{\circ}$ (1. ábra).

1. ábra

C B T_{B} ▵ ≅ D B' T_{B} ▵

, hiszen a szimmetria miatt

B' C' ∥ C B

, így

C B T_{B} ∢ = T_{B} B' D ∢

B C T_{B} ∢ = T_{B} D B' ∢

, mert váltószögek, továbbá a tükrözés miatt

B T_{B} = T_{B} B'

. Ezzel beláttuk, hogy

B' D = a

. Ugyanígy igazolható az is, hogy

C' E = a

. Az egyik arány az eddigiek alapján:

\begin{matrix} \frac{a'}{a} = \frac{B' C'}{a} = \frac{B' D + E D + C' E}{a} = \frac{2 a + E D}{a} = 2 + \frac{E D}{a} . \end{matrix}

A tükrözés miatt

A T_{A} = T_{A} A'

, így a másik arány:

\begin{matrix} \frac{m'}{m} = \frac{T A'}{m} = \frac{A A' - A T}{m} = \frac{2 m - A T}{m} = 2 - \frac{A T}{m} . \end{matrix}

A D E ▵ \sim A B C ▵

, az oldalak és magasságok aránya megegyezik, vagyis

\frac{E D}{B C} = \frac{A T}{A T_{A}}

. Az

a

oldalt és az

m

magasságot beírva:

\frac{E D}{a} = \frac{A T}{m}

. Ebből a két arány összege valóban:

\begin{matrix} \frac{a'}{a} + \frac{m'}{m} = (2 + \frac{E D}{a}) + (2 - \frac{A T}{m}) = 4. \end{matrix}

2. eset:

α > 60^{\circ}

(2. ábra).

2. ábra

Az első eset szerint haladva a tükrözés és a szimmetria alapján

B' D = C' E = a

. Ezzel kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{a'}{a} = \frac{B' C'}{a} = \frac{B' D + C' E - D E}{a} = \frac{2 a - D E}{a} = 2 - \frac{D E}{a} . \end{matrix}

A' B' C'

háromszög alaphoz tartozó magassága

A' T = A' T_{A} + A T_{A} + A T = = 2 m + A T

. Az

m' / m

arány:

\begin{matrix} \frac{m'}{m} = \frac{A' T}{m} = \frac{2 m + A T}{m} = 2 + \frac{A T}{m} . \end{matrix}

A B C

és

A E D

háromszögek hasonlóságából az alapjaik aránya megegyezik a hozzájuk tartozó magasságok arányával:

\begin{matrix} \frac{D E}{a} = \frac{A T}{m} . \end{matrix}

A két arány összege tehát ismét:

\begin{matrix} \frac{a'}{a} + \frac{m'}{m} = 2 - \frac{D E}{a} + 2 + \frac{A T}{m} = 4. \end{matrix}

Lovas Márton (Békásmegyeri Veres Péter Gimn., Budapest, 8. évf.) dolgozata alapján