Kezdőlap


Feladat:	C.1549	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gál Bence
Füzet:	2020/szeptember, 346 - 348. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/május: C.1549

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Készítsünk ábrát geogebrában, hátha megsejtünk valamit. A netes megoldás az alábbi oldalon található, és ott letölthető egy geogebra fájl, melyben a $Z$ pont mozgatható az $A F$ szakaszon:
https://www.komal.hu/feladat?a=feladat&f=C1549&l=hu.
Ez alapján az a sejtés, hogy a kérdéses szög értéke $45^{\circ}$ , illetve az $X Y Z$ háromszög egyenlő szárú és derékszögű. Bizonyítsuk ezt be.
Ha a $Z$ pont az $A$ pontba esik, akkor az $Y$ pont a $B$ ponttal egyezik meg, és az $X Z Y$ háromszög egyenlő szárú derékszögű háromszög, $X Z Y ∢ = 45^{\circ}$ (1. ábra).

1. ábra

Ha a

Z

pont az

F

pontba esik, akkor az

X Z B Y

négyszög négyzet, az

X Z Y

háromszög ekkor is egyenlő szárú derékszögű háromszög, és

X Z Y ∢ = 45^{\circ}

(2. ábra).

2. ábra

Ha a

Z

pont máshol helyezkedik el, arra az esetre adunk három megoldást. A honlapon két, ezektől különböző megoldás olvasható.

I. megoldás. Állítsunk merőlegest az

X

pontból a

B Y

egyenesre, a talppontot jelölje

P

. Az

F B P X

négyszög négyzet, mert három szöge derékszög és

F B = F X = a

. Ezért

P B = a

, és így

P Y = a - b

(3. ábra).

3. ábra

Mivel

P Y = F Z = a - b

P X = F X = a

és

Y P X ∢ = Z F X ∢ = 90^{\circ}

, ezért az

Y P X

és a

Z F X

háromszög egybevágó. Ebből következik, hogy

X Y = X Z

és

Y X P ∢ = Z X F ∢

. Innen adódik, hogy

\begin{matrix} 90^{\circ} = F X P ∢ = F X Y ∢ + Y X P ∢ = F X Y ∢ + Z X F ∢ = Z X P ∢, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} X Z Y ∢ = \frac{180^{\circ} - 90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} . \end{matrix}

II. megoldás. Helyezzük az ábrát koordinátarendszerbe úgy, hogy az

F

pont az origóban legyen, az

A

pont koordinátája

(- a; 0)

, a

Z

ponté pedig

(- b; 0)

. Ekkor a

B

pont koordinátái

(a; 0)

, az

Y

ponté pedig

(a; a - b)

(4. ábra).

4. ábra

Írjuk fel a

\vec{Z X}

és

\vec{Z Y}

vektorok skalárszorzatát kétféleképpen. Mivel

\vec{Z X} = (b; a)

és

\vec{Z Y} = (a + b; a - b)

, ezért egyrészt

\begin{matrix} \vec{Z X} \cdot \vec{Z Y} = b (a + b) + a (a - b) = a b + b^{2} + a^{2} - a b = a^{2} + b^{2} . \end{matrix}

Másrészt

\begin{matrix} \vec{Z X} \cdot \vec{Z Y} & = \sqrt[]{b^{2} + a^{2}} \cdot \sqrt[]{{(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2}} \cdot cos α = \\ = \sqrt[]{a^{2} + b^{2}} \cdot \sqrt[]{2 (a^{2} + b^{2})} \cdot cos α = \sqrt[]{2} (a^{2} + b^{2}) cos α . \end{matrix}

A kétfajta felírás egyenlő egymással:

\begin{matrix} \sqrt[]{2} (a^{2} + b^{2}) cos α & = a^{2} + b^{2}, \\ cos α & = \frac{1}{\sqrt[]{2}}, \\ α & = 45^{\circ}, \end{matrix}

mivel

0^{\circ}

és

90^{\circ}

között van.

Gál Bence (Szolnok, Varga Katalin Gimn., 11. évf.)

III. megoldás. Mivel

F A = F X = F B

és

A F X ∢ = 90^{\circ}

, ezért az

A B X

háromszög egy

2 a

átlójú négyzet fele,

X A = X B

és

A X B ∢ = 90^{\circ}

(5. ábra).

5. ábra

Forgassuk el az

e : = A B

egyenest az

X

pont körül

90^{\circ}

-kal. A kapott

e'

egyenes merőleges lesz az

e

egyenesre, így megegyezik a feladatban

B

-ben állított

A B

-re merőleges egyenessel (6. ábra).

6. ábra

Mivel

A X = B X

és

A X B ∢ = 90^{\circ}

, ezért a forgatás során

A

képe

B

lesz. Tudjuk, hogy

b = A Z = A' Z' = B Y

, így

Z

képe

Y = Z'

. Mivel a forgatás távolságtartó, így

X Z = X Z' = X Y

, és mivel

90

fokkal forgattunk, így

Z X Z' ∢ = Z X Y ∢ = 90^{\circ}

. Tehát az

X Z Y

egy egyenkő szárú derékszögű háromszög, és így a keresett szög,

X Z Y ∢ = 45^{\circ}