A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Készítsünk ábrát geogebrában, hátha megsejtünk valamit. A netes megoldás az alábbi oldalon található, és ott letölthető egy geogebra fájl, melyben a pont mozgatható az szakaszon: https://www.komal.hu/feladat?a=feladat&f=C1549&l=hu. Ez alapján az a sejtés, hogy a kérdéses szög értéke , illetve az háromszög egyenlő szárú és derékszögű. Bizonyítsuk ezt be. Ha a pont az pontba esik, akkor az pont a ponttal egyezik meg, és az háromszög egyenlő szárú derékszögű háromszög, (1. ábra).
1. ábra Ha a pont az pontba esik, akkor az négyszög négyzet, az háromszög ekkor is egyenlő szárú derékszögű háromszög, és (2. ábra).
2. ábra Ha a pont máshol helyezkedik el, arra az esetre adunk három megoldást. A honlapon két, ezektől különböző megoldás olvasható.
I. megoldás. Állítsunk merőlegest az pontból a egyenesre, a talppontot jelölje . Az négyszög négyzet, mert három szöge derékszög és . Ezért , és így (3. ábra).
3. ábra Mivel , és , ezért az és a háromszög egybevágó. Ebből következik, hogy és . Innen adódik, hogy | | és így II. megoldás. Helyezzük az ábrát koordinátarendszerbe úgy, hogy az pont az origóban legyen, az pont koordinátája , a ponté pedig . Ekkor a pont koordinátái , az ponté pedig (4. ábra).
4. ábra Írjuk fel a és vektorok skalárszorzatát kétféleképpen. Mivel és , ezért egyrészt | | Másrészt
A kétfajta felírás egyenlő egymással:
mivel és között van.
Gál Bence (Szolnok, Varga Katalin Gimn., 11. évf.)
III. megoldás. Mivel és , ezért az háromszög egy átlójú négyzet fele, és (5. ábra).
5. ábra Forgassuk el az egyenest az pont körül -kal. A kapott egyenes merőleges lesz az egyenesre, így megegyezik a feladatban -ben állított -re merőleges egyenessel (6. ábra).
6. ábra Mivel és , ezért a forgatás során képe lesz. Tudjuk, hogy , így képe . Mivel a forgatás távolságtartó, így , és mivel fokkal forgattunk, így . Tehát az egy egyenkő szárú derékszögű háromszög, és így a keresett szög, . |