A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. A feladat feltételei közül egyelőre csak annyit használunk fel, hogy hegyesszög. Így az háromszögben -nél tompaszög van, az és szakaszok felező merőlegesei a háromszögön kívül metszik egymást, az oldalt az előbbi -hoz közelebb, az utóbbi -hez közelebb metszi (1. ábra).
Ez a két felező merőleges tehát olyan három részre vágja az háromszöget, hogy mindegyik rész belső pontjaihoz az illető rész által tartalmazott csúcs van a háromszög csúcsai közül a legközelebb. A szakasznak a háromszögbe eső része a -hez tartozó részben fut, mert végpontja egyenlő távolságra van -tól és -től. Hasonló állítás igaz az háromszögre is, így az háromszög pontjaihoz az , , , pontok közül az , , csúcsok valamelyike van legközelebb ‐ elegendő tehát annak a szükséges és elegendő feltételét megvizsgálnunk, hogy az háromszöget a , ; körök lefedjék. Két esetet különböztetünk meg aszerint, hogy -nál kisebb-e vagy nagyobb. Ha , a körnek a szögtartományba eső része egyszersmind a körnek is része, így csak azt kell megvizsgálnunk, hogy a , körök mikor fedik le az háromszöget. esetén a kör az szakaszból egységnyi hosszúságú részt vág le, a körből az egyenesre eső húr hossza pedig .
2. ábra Ha e két kör lefedi az szakaszt, e részek összege nem kisebb az szakasz hosszánál (2a ábra): Ez esetén is teljesül, tehát mellett a fedés szükséges feltétele. Feltételünk úgy is fogalmazható, hogy az háromszög része legyen annak az háromszögnek, melyben . Messe az egyenest -ben, akkor . Megmutatjuk, hogy (2) elégséges feltétel. Valóban, lefedi az háromszöget, így ha az szakaszon van, maga lefedi az háromszöget. Ha az szakaszon van, lefedi -t miatt. Legyen vetülete -n , akkor az háromszöget a kör, az háromszöget a kör fedi le, hiszen pl. az háromszögben a -től legtávolabbi pont az csúcs, és azt is lefedi. Ha , legyen az egyenes -t tartalmazó oldalán az a pont, melyre . Messe az körüli egységsugarú kör az egyenest -ben. Az egyenlő szárú háromszögben , ezért (2b ábra) | | Így pedig a feladat állításában szereplő (1) feltétel esetünkben ekvivalens azzal, hogy az szakaszon legyen, vagyis az háromszög tartalmazza az háromszöget. Megmutatjuk, hogy mellett ez szükséges és elégséges feltétele annak, hogy a , , körök lefedjék az háromszöget. Feltételünk elégséges, hiszen ha az szakaszon van, az pontot mindhárom kör lefedi, és ebből a fentiekhez hasonlóan látható be, hogy a és körök együtt lefedik az háromszöget, és együtt a háromszöget, és pedig együtt az háromszöget fedik le. (Természetesen nem okoz zavart, ha nincs is benne az háromszögben.) Fordítva, ha az szakasz -en túli meghosszabbításán van, az egyenes a , körök belsejében levő szakaszt annak belsejében metszi, így az háromszög belsejében van, és a , körök az szakasznak csak az végpontját fedik le. viszont a körön kívül van, tehát , így az szakaszt nem fedheti le teljes egészében a kör. Eszerint feltételünk szükséges is. Összefoglalva az eddigieket: ha az háromszög tetszőleges, akkor esetén (2), esetén (1) a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy a , , , körök lefedjék az paralelogrammát. II. Utolsó lépésként megmutatjuk, hogy ha , és az háromszög hegyesszögű, akkor (1) is, (2) is mindig teljesül. Valóban, a 2a ábrán , a 2b ábrán , tehát mellett mindkettő tompaszög; ha tehát az háromszögben -nél hegyesszög van, az , ill. az háromszög tartalmazza az háromszöget. Ha tehát , és az háromszög hegyesszögű, köreink mindig fedik a paralelogrammát, és az (1) feltétel is mindig teljesül, így hegyesszögű háromszög esetén (1) az egész intervallumban szükséges és elégséges feltétele a fedésnek. Megjegyzés. Hasonló módon látható, hogy ha az tompaszög, és , akkor a körök sosem fedik az paralelogrammát.
|