Kezdőlap


Feladat:	5056. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Schrott Márton
Füzet:	2019/január, 56 - 57. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Nyomóerő, kötélerő, Harmonikus rezgőmozgás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/október: 5056. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a rugóállandót $D$ -vel, a kis test tömegét $m$ -mel, az ejtési magasságot pedig $h$ -val. A kis test akkor lenne egyensúlyban, amikor a rugó összenyomódása

\begin{matrix} x_{0} = \frac{m g}{D} \approx 5 cm. \end{matrix}

A lemezre eső kis test ,,átszalad'' az egyensúlyi helyzetén, és attól

A

távolsággal mélyebben csökken csak a sebessége nullára. Ezután visszafelé is bejárja ugyanezt az utat, és a rugó nyújtatlan állapotánál válik el a kis test a lemeztől. A test mozgása harmonikus rezgőmozgás (annak egy részlete), a rezgés körfrekvenciája

\begin{matrix} ω = \sqrt[]{\frac{D}{m}} = 14, 1 \frac{1}{s} . \end{matrix}

A rezgés amplitúdóját az energiamegmaradás törvénye segítségével határozhatjuk meg. Az

\begin{matrix} m g (h + x_{0} + A) = \frac{1}{2} D {(x_{0} + A)}^{2} \end{matrix}

másodfokú egyenlet pozitív gyöke:

\begin{matrix} A = \sqrt[]{\frac{2 m g h}{D} + {(\frac{m g}{D})}^{2}} = \sqrt[]{x_{0} (x_{0} + 2 h)} \approx 20 cm. \end{matrix}

A rugó megrövidülését (összenyomódását) a

\begin{matrix} d (t) = x_{0} - A cos (ω t) \end{matrix}

kifejezés adja meg (lásd az ábrát). A kis test mindaddig nem válik el a lemeztől, amíg

d (t) \geq 0

, vagyis

\begin{matrix} cos (ω t) \leq \frac{x_{0}}{A} \approx 0, 24. \end{matrix}

A fenti egyenlőtlenség az

\begin{matrix} 1, 33 rad \leq ω t \leq 2 π - (1, 33 rad) = 4, 95 rad \end{matrix}

intervallumon áll fenn, ami

\begin{matrix} Δ t = \frac{3, 62 rad}{ω} = 0, 26 s \end{matrix}

időtartamnak felel meg. Ennyi ideig marad tehát a kis test a lemezen.

Megjegyzés. A lemezen való tartózkodás idejét a rezgőmozgást végző test két állapotának fáziskülönbsége határozta meg. Ez a fáziskülönbség nem függ az időmérés kezdőpontjától, vagyis a rezgés kezdeti fázisától. Emiatt írhattuk le a rezgést egy fáziseltolódás nélküli koszinuszfüggvénnyel.

Schrott Márton (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., 12. évf.)
dolgozata alapján