Feladat: B.5006 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Fleiner Zsigmond 
Füzet: 2020/május, 287 - 288. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Trapézok
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2019/február: B.5006

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A trapéz alapjain fekvő CAB∢ és ACD∢ szögek váltószögek, tehát egyenlők. Emiatt az ACD háromszög egyenlő szárú. A trapéz ismert tulajdonsága, hogy az AMD és BCM háromszögek területe egyenlő. Azt is tudjuk a feladat feltételei, illetve az előbbi szögegyenlőség alapján, hogy AM=BC, továbbá BM=CD=DA. Vagyis az AMD és BCM háromszögeknek nem csak a területük egyezik meg, hanem két-két oldaluk is (1. ábra).

 

 

1. ábra
 

Belátjuk, hogy ez a két háromszög egybevágó is.
Ehhez először azt vizsgáljuk meg, hogy hány olyan nem egybevágó háromszög van, amelynek két-két oldala és területe megegyezik. Ha adott a terület, akkor ismerjük az adott oldalakhoz tartozó magasságokat is. Ha felvesszük az egyik adott oldalt (PQ) és az ismert hozzátartozó magassággal párhuzamost húzunk ezzel az oldallal, akkor biztos, hogy a háromszög harmadik csúcsa csak ezen a párhuzamos egyenesen helyezkedhet el. A harmadik csúcs (R) ezen kívül rajta van az adott szakasz egyik végpontja mint középpont körül rajzolt, a másik adott oldal hosszúságával megegyező sugarú körvonalon. A párhuzamos egyenes és a körvonal egymást legfeljebb két pontban metszi (R1,R2) a 2. ábra szerint. (A másik párhuzamos egyenes berajzolása, a végpontok és a körüljárás felcserélése nem vezet ezektől eltérő megoldásra.)
 

 

2. ábra
 

A kör középpontjában a PQ egyenesre állított merőleges egyenesre szimmetrikusan helyezkednek el az R1Q és R2Q szakaszok, ezért PQR1∢=VQR2∢, tehát a PQR1 és PQR2 szögek, ha nem egyenlők, akkor 180∘-ra egészítik ki egymást.
Most térjünk vissza az AMD és BCM háromszögek vizsgálatához. Előfordulhat-e itt, hogy az első ábrán α-val és γ-val jelölt szögek kiegészítő szögek? A szögek elhelyezkedése alapján α=ACD∢<BCD∢ és γ=DBC∢<ABC∢, így ekkor
180∘=α+γ<BCD∢+ABC∢
lenne, ez pedig ellentmondás, mert az ABCD trapéz B-hez és C-hez tartozó szögei 180∘-ra egészítik ki egymást. Az α és γ szögek tehát ugyanakkorák.
Innen a megoldás már néhány lépésben befejezhető. Beláttuk tehát, hogy DAM▵≅MBC▵. Az AMD és BMC szögek csúcsszögek, ezek is egyenlők, vagyis ADM∢=BMC∢=AMD∢=BCM∢. Ez a két háromszög tehát egyenlő szárú is. A DMC háromszög is egyenlő szárú, ennek a háromszögnek külső szöge a DMA∢, amely ezek szerint 2α nagyságú. Az AMD egyenlő szárú háromszög szögeire
MAD∢+AMD∢+MDA∢=α+2α+2α=180∘.
Innen α=36∘, végül az ABCD trapéz szögei 72∘, 72∘, 108∘, 108∘.
 

 Fleiner Zsigmond (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 9. évf.)
 dolgozata alapján