Kezdőlap


Feladat:	C.1552	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ajtai Boglárka , Hordós Adél Zita , Kis Károly , Mészáros Márton , Molnár István , Nyitrai Boglárka , Szigeti Donát
Füzet:	2020/május, 284 - 285. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Logaritmusos egyenlőtlenségek, Logaritmusos függvények
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/május: C.1552

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyük $a$ és $b$ harmonikus közepét:

\begin{matrix} \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2}{\frac{a + b}{a b}} = \frac{2 a b}{a + b} . \end{matrix}

Látható, hogy a feladatban a logaritmusok argumentumaként szereplő értékeket kapjuk.
Legyen

c

egy valós szám, melyre teljesül, hogy

0 < c < 1

. Ekkor az

f (x) = log_{c} (x)

függvény szigorúan monoton csökkenő, de helyettesítési értéke a

] 0,1 [

tartományon végig pozitív marad, hiszen

x = 1

-re

f (x) = f (1) = log_{c} (1) = 0

. Mivel a függvény szigorúan monoton csökken, ezért ha

x_{1} \leq x_{2}

, akkor

f (x_{1}) \geq f (x_{2})

, és egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha

x_{1} = x_{2}

.
A nevezetes közepekre való össszefüggés szerint két pozitív szám mértani közepe nem kisebb azok harmonikus közepénél. Ez

a

-ra és

b

-re a következőt jelenti:

\sqrt[]{a b} \geq \frac{2 a b}{a + b}

. Mivel

a

és

b

1-nél kisebb pozitív számok, ez (a fentiek alapján) azt jelenti, hogy

\begin{matrix} log_{a} (\sqrt[]{a b}) \leq log_{a} (\frac{2 a b}{a + b}) és log_{b} (\sqrt[]{a b}) \leq log_{b} (\frac{2 a b}{a + b}) . \end{matrix}

Mivel (a fentiek alapján) tudjuk, hogy mind a négy logaritmikus kifejezés értéke pozitív, felírhatjuk, hogy

\begin{matrix} log_{a} (\sqrt[]{a b}) log_{b} (\sqrt[]{a b}) \leq log_{a} (\frac{2 a b}{a + b}) log_{b} (\frac{2 a b}{a + b}) . \end{matrix}

Így tehát elég belátnunk, hogy

log_{a} (\sqrt[]{a b}) log_{b} (\sqrt[]{a b}) \geq 1

, hiszen ekkor a feladatban szereplő egyenlőtlenség is teljesül.
Tegyük fel, hogy

log_{a} (\sqrt[]{a b}) log_{b} (\sqrt[]{a b}) \geq 1

. Ekvivalens átalakításokat használva:

\begin{matrix} \frac{1}{2} log_{a} (a b) \cdot \frac{1}{2} log_{b} (a b) & \geq 1, \\ log_{a} (a b) log_{b} (a b) & \geq 4, \\ (log_{a} a + log_{a} b) (log_{b} a + log_{b} b) & \geq 4, \\ (1 + log_{a} b) (log_{b} a + 1) & \geq 4, \\ log_{b} a + 1 + log_{a} b log_{b} a + log_{a} b & \geq 4, \\ log_{a} b + log_{b} a + log_{a} b log_{b} a & \geq 3. \end{matrix}

Az ismert összefüggés szerint

log_{b} a = \frac{log_{a} a}{log_{a} b} = \frac{1}{log_{a} b}

. Ezt felhasználva az egyenlőtlenség tovább alakítható:

\begin{matrix} log_{a} b + \frac{1}{log_{a} b} + 1 & \geq 3, \\ log_{a} b + \frac{1}{log_{a} b} & \geq 2, \\ {(log_{a} b)}^{2} - 2 log_{a} b + 1 & \geq 0, \\ {(log_{a} b - 1)}^{2} & \geq 0. \end{matrix}

Egy valós szám négyzete mindig nemnegatív, így ez az egyenlőtlenség mindig teljesül. Egyenlőség

log_{a} b = 1

esetén áll fenn. Ekkor

a = b

.
Mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk, így a feladatban szereplő egyenlőtlenség is minden esetben teljesül, és egyenlőség

a = b

esetén áll fenn.

Mészáros Márton (Pápa, Türr István Gimn. és Koll., 12. évf.)