Feladat:	B.5023	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Vu Phuong Nam
Füzet:	2020/április, 224 - 225. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Pont körüli forgatás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/április: B.5023

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Azt fogjuk megmutatni, hogy az $XAP$ és $XBC$ háromszögek egybevágók. Ebből azonnal adódik, hogy $BC=AP$. Mivel $BXA\sphericalangle =CXP\sphericalangle ={90}^{\circ }$, ezért mindkettőből kivonva a $CXA\sphericalangle$ szöget, látjuk, hogy $BXC\sphericalangle =AXP\sphericalangle$. Az $X$ pont az $AB$ ív felezőpontja, ezért $XA=XB$. Végül felhasználva, hogy $BCAX$ húrnégyszög: $\begin{array}{c}{\displaystyle XBC\sphericalangle ={180}^{\circ }-XAC\sphericalangle =XAP\sphericalangle \mathrm{.}}\end{array}$ A két háromszögnek egy-egy oldala és a rajta fekvő szögek megegyeznek, tehát a két háromszög egybevágó. Így oldalaik páronként egyforma hosszúságúak, vagyis $BC=AP$.    Vu Phuong Nam (High School for The Gifted, VNU-HCM, Ho Si Minh-város, 10. évf.)  dolgozata alapján   Megjegyzés. A két háromszög egybevágóságának bizonyításához az is felhasználható, hogy az ábrán jelzett szögek $BCX\sphericalangle =XCA\sphericalangle =BAX\sphericalangle =APX\sphericalangle ={45}^{\circ }$.