Kezdőlap


Feladat:	5203. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bokor Endre , Ludányi Levente , Selmi Bálint , Tóth Ábel , Varga Vázsony
Füzet:	2020/április, 247 - 248. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Fermat-elv
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2020/február: 5203. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A lézersugár pályagörbéjét leíró egyenlet

\begin{matrix} z (x) = A cos (2 π \frac{x}{λ}), \end{matrix}

(1)

ennek az inverze (a

0 \leq x \leq λ

intervallumon):

\begin{matrix} x (z) = \frac{λ}{2 π} arccos \frac{z}{A} . \end{matrix}

(2)

Az (1) egyenletet

x

szerint deriválva:

\begin{matrix} z' (x) = - \frac{2 π}{λ} A sin (2 π \frac{x}{λ}) . \end{matrix}

(3)

A derivált abszolút értéke megegyezik a

z = állandó

,,réteghez'' tartozó

α

beesési szög kotangensével:

\begin{matrix} z' (x) = - ctg α . \end{matrix}

(4)

(A függvény meredekségét jellemző szöget ‐ aminek a tangense a függvény deriváltja ‐ az

x

tengelytől mérjük, az optikai beesési szöget pedig a

z

tengelytől számítjuk. A két szög egymás pótszöge.)
A Snellius‐Descartes-törvény szerint

\begin{matrix} n (z) \cdot sin α = konstans, \end{matrix}

és mivel a lézersugár belépési pontjánál

α = 90^{\circ}

és

n = n_{0}

, a fenti képletben szereplő állandó éppen

n_{0}

\begin{matrix} n (z) sin α = n_{0}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} n (z) = \frac{n_{0}}{sin α} = n_{0} \sqrt[]{1 + ctg^{2} α} . \end{matrix}

(5)

A (3), (4) és (5) összefüggések felhasználásával:

\begin{matrix} n (z) = n_{0} \sqrt[]{1 + {(\frac{2 π}{λ} A)}^{2} sin^{2} (2 π \frac{x}{λ})} . \end{matrix}

Innen (2) behelyettesítésével kapjuk, hogy

\begin{matrix} n (z) = n_{0} \sqrt[]{1 + {(\frac{2 π}{λ} A)}^{2} sin^{2} (\frac{2 π}{λ} \frac{λ}{2 π} arccos \frac{z}{A})}, \end{matrix}

amit egyszerűsítve, és

sin^{2} (arccos (x)) = 1 - x^{2}

felhasználásával

\begin{matrix} n (z) = n_{0} \sqrt[]{1 + {(\frac{2 π}{λ} A)}^{2} \cdot (1 - {(\frac{z}{A})}^{2})}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} n (z) = n_{0} \sqrt[]{1 + {(\frac{2 π}{λ} A)}^{2} - {(\frac{2 π}{λ})}^{2} z^{2}} \end{matrix}

(6)

adódik.
Tudjuk még, hogy

z = 0

-nál a törésmutató

\begin{matrix} n (0) = n_{1} = \frac{1, 6}{1, 5} n_{0} = n_{0} \sqrt[]{1 + {(\frac{2 π}{λ} A)}^{2}} . \end{matrix}

Ebből kiszámíthatjuk a pályagörbe keresett hullámhosszát:

\begin{matrix} λ = \frac{2 π A}{\sqrt[]{(\frac{1, 6}{1, 5})^{2} - 1}} \approx 0, 169 m, \end{matrix}

majd ezt (6)-ba visszahelyettesítve megkapjuk a törésmutató

z

-függését:

\begin{matrix} n (z) \approx 1, 5 \sqrt[]{1, 138 - 0, 138 \frac{1}{{cm}^{2}} z^{2}} . \end{matrix}

Varga Vázsony (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. évf.)