Kezdőlap


Feladat:	5183. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bokor Endre , Bonifert Balázs , Horváth Anikó , Ludányi Levente , Nguyen Đuc Anh Quan , Tóth Ábel
Füzet:	2020/április, 240 - 242. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Faraday-féle indukciótörvény, Tömegpont dinamikája
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/december: 5183. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rendszerre nem hat disszipatív erő, ezért alkalmazható az energiamegmaradás törvénye. A rendszer teljes energiája (a gravitációs helyzeti energia, a mágneses térenergia és a mozgási energia összege) a mozgás során nem változik, állandó marad. Ha a rúd függőleges elmozdulása $x$ , a sebessége $v$ és az áramerősség $I$ , akkor

\begin{matrix} - m g x + \frac{1}{2} L I^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} = 0. \end{matrix}

(1)

(Az elmozdulást és a sebességet lefelé tekintjük pozitívnak, és a helyzeti energiát az indulás helyén választottuk nullának. A kezdeti helyzetben

x = 0

v = 0

és

I = 0

, tehát az összenergia is nulla.)

a)

A rúd sebességének növekedtével egyre nagyobb feszültség indukálódik, ez egyre nagyobb áramot hoz létre, és emiatt a mágneses térben mozgó rúdra egyre nagyobb fékezőerő hat. Az indukált feszültség is, és az áramerősség is véges határok között marad, nem fognak idővel korlátlanul nőni.

Megjegyzés. A mozgás részletesebb vizsgálatával belátható, hogy a rúd harmonikus rezgőmozgást végez; ennek bizonyítása azonban nem tartozik a feladathoz.

Az indukált feszültség nagysága

\begin{matrix} U = v ℓ B, \end{matrix}

(2)

ami ‐ a Faraday-féle indukciótörvény szerint ‐ az áramerősség változási sebességével is kifejezhető:

\begin{matrix} U = L \frac{Δ I}{Δ t} . \end{matrix}

(3)

Ebből a két összefüggésből

U

-t kiküszöbölve, és kihasználva, hogy

v = \frac{Δ x}{Δ t}

azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{Δ (x ℓ B - L I)}{Δ t} = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} B ℓ x (t) - L I (t) = állandó . \end{matrix}

Mivel induláskor

x = 0

és

I = 0

, az állandó értéke nulla, tehát

\begin{matrix} I (t) = \frac{ℓ B}{L} x (t) . \end{matrix}

(4)

Helyettesítsük be (4) és (2) felhasználásával

I

-t és

v

-t az energiamegmaradást kifejező (1) egyenletbe:

\begin{matrix} \frac{m U^{2}}{2 ℓ^{2} B^{2}} = m g x - \frac{ℓ^{2} B^{2}}{2 L} x^{2}, \end{matrix}

majd alakítsuk a jobb oldalt teljes négyzetté:

\begin{matrix} \frac{m U^{2}}{2 ℓ^{2} B^{2}} = \frac{m^{2} g^{2} L}{2 ℓ^{2} B^{2}} - \frac{ℓ^{2} B^{2}}{2 L} {(x - \frac{m g L}{ℓ^{2} B^{2}})}^{2} \leq \frac{m^{2} g^{2} L}{2 ℓ^{2} B^{2}} . \end{matrix}

Innen leolvasható az indukált feszültség legnagyobb értéke:

\begin{matrix} U (t) \leq U_{max} = g \sqrt[]{m L} . \end{matrix}

b)

A (4) összefüggésből látszik, hogy az indukált áram legnagyobb értékénél

x

is a legnagyobb értékét veszi fel, és ott a rúd sebessége nulla. Ekkor (1) szerint

\begin{matrix} \frac{1}{2} L I^{2} = m g x, \end{matrix}

ami (4) felhasználásával így írható:

\begin{matrix} \frac{1}{2} L I^{2} = \frac{m g L I}{B ℓ} . \end{matrix}

Ez az összefüggés két esetben teljesül:

I = 0

, ami a legkisebb áramerősségnek felel meg, illetve amikor

\begin{matrix} I = I_{max} = \frac{2 m g}{B ℓ} . \end{matrix}

Bokor Endre (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. évf.)
dolgozata alapján