Kezdőlap


Feladat:	5180. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Nguyen Đuc Anh Quan
Füzet:	2020/április, 238 - 240. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb körfolyamatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/december: 5180. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A gáztörvény szerint $p V = n R T$ , tehát a gáz hőmérséklete a $p V$ szorzattal arányos. A hőmérséklet az $A$ pontnak megfelelő állapotban a legalacsonyabb:

\begin{matrix} T_{min} = \frac{p_{0} V_{0}}{n R} . \end{matrix}

A B C

háromszög szimmetriája miatt a legmagasabb hőmérséklet a

B C

szakasz felezőpontjához tartozik:

\begin{matrix} T_{max} = {(\frac{λ + 1}{2})}^{2} \frac{p_{0} V_{0}}{n R} . \end{matrix}

A feladat szövege szerint

T_{max} = 9 T_{min}

, vagyis

λ = 5

.
A körfolyamat hatásfoka a gáz által végzett hasznos

W'

munka és a felvett hő hányadosa. A gáz által végzett hasznos munka az

A B C

háromszög területe:

\begin{matrix} W' = \frac{{(λ - 1)}^{2} p_{0} V_{0}}{2} = 8 p_{0} V_{0} . \end{matrix}

A \to B

folyamat izochor, amely során felvett hő:

\begin{matrix} Q_{A B} = Δ U_{A B} = \frac{3}{2} n R (T_{B} - T_{A}) = \frac{3}{2} (p_{B} V_{B} - p_{A} V_{A}) = 6 p_{0} V_{0} . \end{matrix}

C \to A

izobár folyamatban a gáz biztosan hőt ad le, így ez a folyamat a körfolyamat hatásfoka szempontjából érdektelen. Nehezebb eset a

B \to C

folyamat, amely során hőfelvétel és hőleadás egyaránt előfordulhat.
Tekintsük az

A B

szakasz valamely

D

pontját, amelyhez tartozó nyomás

p

és a térfogat

V

. (Nyilván

V_{0} \leq V \leq 5 V_{0}

.) Mivel

D

rajta fekszik az egyenesen, teljesül, hogy

\begin{matrix} p = p_{0} (6 - \frac{V}{V_{0}}), \end{matrix}

ami az

x = \frac{V}{V_{0}}

dimenziótlan arányszám bevezetésével így írható:

\begin{matrix} p = p_{0} (6 - x) . \end{matrix}

Számítsuk ki, mennyit hőt kell közöljünk a gázzal, hogy az a

B

állapotból az egyenes mentén haladva a

D

állapotba jusson. A folyamat során addig történik folyamatosan hőfelvétel, amíg a

Q_{B D} \equiv f (x)

függvény monoton növekszik. Ha

f (x)

-nek valahol lokális maximuma van, majd onnan kezdve monoton csökken, akkor ott már hőleadás történik.
A belső energia megváltozása:

\begin{matrix} Δ U_{B D} = \frac{3}{2} (p_{D} V_{D} - p_{B} V_{B}) = \frac{3}{2} p_{0} V_{0} (- x^{2} + 6 x - 5) . \end{matrix}

A gáz által eközben végzett munka (a

B D

szakasz és a

V

tengely közötti trapéz területe):

\begin{matrix} W'_{B D} = p_{0} V_{0} \frac{5 + (6 - x)}{2} (x - 1) . \end{matrix}

Az első főtétel szerint a gáz által a

B \to D

állapotváltozás során felvett hő:

\begin{matrix} Q_{B D} = Δ U_{B D} + W'_{B D} = (- 2 x^{2} + 15 x - 13) p_{0} V_{0}, \end{matrix}

amit

\begin{matrix} Q_{B D} = (x - 1) (13 - 2 x) p_{0} V_{0} \end{matrix}

alakban is felírhatunk. Ez a függvény egy olyan parabolát ír le, amelynek zérushelyei:

x_{1} = 1

és

x_{2} = \frac{13}{2}

. A parabola maximuma

\begin{matrix} x = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{15}{4} \end{matrix}

értéknél van, és ezen a helyen

\begin{matrix} Q_{B D} = \frac{121}{8} p_{0} V_{0} . \end{matrix}

A teljes körfolyamatban a gáz az

A \to B \to D

állapotváltozás során vesz fel hőt:

\begin{matrix} Q_{fel} = Q_{A B} + Q_{B D} = \frac{169}{8} p_{0} V_{0} . \end{matrix}

Így a kérdéses hatásfok:

\begin{matrix} η = \frac{W'}{Q_{fel}} = \frac{64}{169} \approx 0, 38 = 38 % . \end{matrix}

Nguyen Đuc Anh Quan (Hanoi, Ta Quang Biru, 12. évf.)
dolgozata alapján