Kezdőlap


Feladat:	5178. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Jánosik Áron
Füzet:	2020/április, 237 - 238. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Pontrendszerek mozgásegyenletei
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/december: 5178. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az összenyomott rugó rugalmas energiája $E_{0}$ ! Ez először mozgási, majd helyzeti és mozgási energiává alakul.

1. eset (rögzített kiskocsi)

Legyen a kilövés pillanatában (amikor a rugó energiája már nullára csökkent) a lövedék sebessége

v_{1}

, ennek vízszintes irányú komponense

v_{1 x}

, függőleges irányú komponense pedig

v_{1 y}

(tehát

v_{1}^{2} = v_{1 x}^{2} + v_{1 y}^{2}

). Mivel a kocsihoz képest

α = 30^{\circ}

-os szögben lőttük ki a lövedéket, és a kocsi nem tud elmozdulni, a lövedék asztalhoz viszonyított sebességének a vízszintessel bezárt szöge is

α

, tehát

\begin{matrix} \frac{v_{1 y}}{v_{1 x}} = tg α = \frac{1}{\sqrt[]{3}}, azaz v_{1 x}^{2} = 3 \cdot v_{1 y}^{2} . \end{matrix}

Az energiamegmaradás törvénye szerint:

\begin{matrix} E_{0} = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} = \frac{1}{2} m (v_{1 x}^{2} + v_{1 y}^{2}) = \frac{1}{2} m (3 v_{1 y}^{2} + v_{1 y}^{2}) = 2 m v_{1 y}^{2} . \end{matrix}

Az emelkedési magasságot a lövedék függőleges irányú kezdősebessége határozza meg:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{1 y}^{2} = m g h_{1}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} h_{1} = \frac{v_{1 y}^{2}}{2 g} = \frac{E_{0}}{4 m g} . \end{matrix}

2. eset (a kiskocsi szabadon elmozdulhat)

Legyen a kilövés pillanatában (amikor a rugó energiája már nullára csökkent) a lövedék sebessége

v_{2}

, ennek vízszintes irányú komponense

v_{2 x}

, függőleges irányú komponense

v_{2 y}

(tehát

v_{2}^{2} = v_{2 x}^{2} + v_{2 y}^{2}

), a kocsi sebessége pedig

v

(ez vízszintes irányú, a lövedékével ellentétes irányban).
A kiskocsi+lövedék rendszerre nem hat vízszintes irányú külső erő, így a lendületmegmaradás törvénye alapján

\begin{matrix} 0 = m v_{2 x} - m v, vagyis v = v_{2 x} . \end{matrix}

Ezek szerint a lövedék vízszintes irányú sebessége a kiskocsihoz képest

v_{2 x} + v = 2 v_{2 x}

. Mivel a kocsihoz képest

α = 30^{\circ}

-os szögben lőttük ki a lövedéket, fennáll:

\begin{matrix} \frac{v_{2 y}}{2 v_{2 x}} = tg α = \frac{1}{\sqrt[]{3}}, ahonnan v_{2 x}^{2} = \frac{3}{4} v_{2 y}^{2} \end{matrix}

következik.
Az energiamegmaradás törvénye alapján:

\begin{matrix} E_{0} & = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m (v_{2 x}^{2} + v_{2 y}^{2}) + \frac{1}{2} m v_{2 x}^{2} = \\ = \frac{1}{2} m (\frac{3}{4} v_{2 y}^{2} + v_{2 y}^{2}) + \frac{1}{2} m (\frac{3}{4} v_{2 y}^{2}) = \frac{5}{4} m v_{2 y}^{2} . \end{matrix}

A lövedék emelkedési magasságát most is a lövedék függőleges irányú kezdősebessége határozza meg:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{2 y}^{2} = m g h_{2}, vagyis h_{2} = \frac{v_{2 y}^{2}}{2 g} = \frac{2 E_{0}}{5 m g} . \end{matrix}

A két esetet összevetve látjuk, hogy az emelkedési magasságok aránya:

\begin{matrix} \frac{h_{2}}{h_{1}} = \frac{8}{5} = 1, 6. \end{matrix}

Jánosik Áron (Győr, Révai Miklós Gimn. és Koll., 12. évf.)