Kezdőlap


Feladat:	5165. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Téglás Panna
Füzet:	2020/április, 235. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Erők forgatónyomatéka
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/november: 5165. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kis körök kivágása előtt az alakzat tömegközéppontja a nagy kör középpontjában volt. Egyre több kis kör kivágása után a maradék idom tömegközéppontja egyre inkább jobbra mozdul el.
Az eredeti kör sugara 1, területe $T = π$ . Az $n$ -edik kis kör sugara $x_{n} = {(1 / 2)}^{n + 1}$ , területe $T_{n} = {(1 / 4)}^{n + 1} π$ . A forgatónyomatékok egyensúlyából rendre kiszámolhatjuk, hogy mekkora $y_{n}$ távolsággal tolódik el $n$ darab kis kör kivágása után a maradék lemez tömegközéppontja. (A maradék rész forgatónyomatéka az eredeti lemez középpontjára vonatkoztatva nyilván ugyanakkora, mint amennyi a kivágott részek forgatónyomatéka volt.)
$a)$ Ha csak a legnagyobb kört vágjuk ki, akkor (a lemez vastagságával, anyagának sűrűségével és $g$ -vel egyszerűsítve) az alábbi összefüggéshez jutunk:

\begin{matrix} T_{1} x_{1} = (T - T_{1}) y_{1}, \end{matrix}

ahonnan megkapjuk, hogy

y_{1} = \frac{1}{60} \approx 0, 017

egység.

b)

Két kördarab eltávolítása után a maradékra felírható:

\begin{matrix} T_{1} x_{1} + T_{2} (2 x_{1} + x_{2}) = (T - T_{1} - T_{2}) y_{2}, \end{matrix}

ahonnan

y_{2} = \frac{13}{472} \approx 0, 028

egység eredmény adódik.

c)

Ha nagyon sok (formálisan

n \to \infty

) kört távolítunk el a lemezből, akkor a maradék rész tömegközéppontjának

y

-nal jelölt elmozdulására az alábbi összefüggést írhatjuk fel:

\begin{matrix} T_{1} x_{1} + T_{2} (2 x_{1} + x_{2}) + T_{3} (2 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3}) + ... = (T - T_{1} - T_{2} - T_{3} - ...) y . \end{matrix}

A jobb oldalon szereplő összeg:

\begin{matrix} (π - \frac{π}{16} - \frac{π}{64} - \frac{π}{256} - ...) y = (1 - \sum_{i = 2}^{\infty} \frac{1}{4^{n}}) π y = \frac{11}{12} π y . \end{matrix}

A forgatónyomatéki egyenlet bal oldala:

\begin{matrix} π (\frac{1}{64} + \frac{5}{512} + \frac{13}{4095} + \frac{29}{32 768} + ...) = π \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{2^{k} - 3}{8^{k}} = \frac{5}{168} π . \end{matrix}

Innen már adódik, hogy a keresett távolság

\begin{matrix} y = \frac{5}{168} \cdot \frac{12}{11} = \frac{5}{154} \approx 0, 032 egység . \end{matrix}

Téglás Panna (Révkomárom, Selye János Gimn., 10. évf.)