Egy $\ell$ hosszúságú, $Q$ nagyságú töltéssel egyenletesen feltöltött szívószál elektromos tere a Gauss-törvény alapján határozható meg (1. ábra).

 

1. ábra

A szálat szimmetrikusan körülvevő, $2\pi r\ell$ felszínű hengerpaláston $\Phi =E\left(r\right)\cdot 2\pi r\ell$ elektromos fluxus ,,halad át'', és ez a hengerben lévő $Q$ töltéssel arányos:

$\begin{array}{c}{\displaystyle \Phi =\frac{Q}{{\epsilon }_0}\mathrm{,}}\end{array}$

vagyis

$\begin{array}{c}{\displaystyle E\left(r\right)=\frac{Q}{2\pi \ell {\epsilon }_0}\cdot \frac{1}{r}=K\cdot \frac{1}{r}\mathrm{.}}\end{array}$

Mivel a szívószálak hosszúsága is, és a töltésük is ugyanakkora, a $K$ tényező is ugyanakkora az összes szálra.
$a)$ Jelöljük a szívószálak távolságát a 2. ábrán látható módon. (Kihasználtuk, hogy a szálak töltése is, és a hossza is ugyanakkora, emiatt az egyensúlyi állapot tükörszimmetrikus.)
A belső szálak egyensúlyának feltétele:

$\begin{array}{c}{\displaystyle \sum QE=\frac{KQ}{a}-\frac{KQ}{b}-\frac{KQ}{a+b}=\mathrm{0,}}\end{array}$

ahonnan

$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{a+b}\mathrm{,}}\end{array}$

vagyis

$\begin{array}{c}{\displaystyle a^2+ab-b^2=\mathrm{0,}}\end{array}$

és ebből a

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{a}{b}\right)}^2+\left(\frac{a}{b}\right)-1=0}\end{array}$

másodfokú egyenlet következik. Ennek pozitív megoldása:

$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{\sqrt[]{5}-1}{2}\approx 0\mathrm{,}618.}\end{array}$

 

Megjegyzés. Érdekes, hogy ez az arány a híres aranymetszés arányszáma.

 

Az elmozdítható szívószálak tehát

$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a}{2a+b}:\frac{b}{2a+b}:\frac{a}{2a+b}\approx 0\mathrm{,}28:0\mathrm{,}45:0\mathrm{,}28}\end{array}$

arányban osztják fel a rögzített szálak közötti távolságot.

 

 

2. ábra

 

 

$b)$ A fentiekhez hasonló módon járhatunk el a 3 mozgatható szívószál esetében is (3. ábra).

 

 

3. ábra

 

 

Az erőegyensúly feltétele:

$\begin{array}{c}{\displaystyle \sum QE=\frac{KQ}{a}-\frac{KQ}{b}-\frac{KQ}{2b}-\frac{KQ}{a+2b}=\mathrm{0,}}\end{array}$

amiből a

$\begin{array}{c}{\displaystyle 4{\left(\frac{b}{a}\right)}^2-6\left(\frac{b}{a}\right)-3=0}\end{array}$

másodfokú egyenlet kapjuk. Ennek pozitív gyöke:

$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{b}{a}=\frac{\sqrt[]{21}+3}{4}\approx 1\mathrm{,}896.}\end{array}$

A távolságok aránya ebben az esetben

$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a}{2a+2b}:\frac{b}{2a+2b}:\frac{b}{2a+2b}:\frac{a}{2a+2b}\approx 0\mathrm{,}17:0\mathrm{,}33:0\mathrm{,}33:0\mathrm{,}17.}\end{array}$

 

 Viczián Anna (Budapest, Baár-Madas Ref. Gimn., 12. évf.)
 dolgozata alapján