Kezdőlap


Feladat:	5166. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Varga Vázsony
Füzet:	2020/március, 180 - 181. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Erők forgatónyomatéka
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/november: 5166. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$a)$ Jelölje az ólomgolyóhoz közelebbi testre vonatkozó mennyiségeket 1-es, a távolabbi test jellemzőit pedig 2-es index, a feladat szövegében szereplő $φ$ pedig legyen az 1. ábrán látható szög ( $0 \leq φ \leq 90^{\circ}$ ).

1. ábra

m^{*}

tömegű golyó középpontjának az egyes tömegektől mért távolsága a koszinusztételből számolható ki:

\begin{matrix} d_{1} & = \sqrt[]{R^{2} + r^{2} - 2 r R cos φ}, \\ d_{2} & = \sqrt[]{R^{2} + r^{2} + 2 r R cos φ} . \end{matrix}

A forgatónyomatékot a gravitációs erő hozza létre, amelynek iránya

m^{*}

felé mutat, nagysága:

\begin{matrix} F_{1,2} = γ \frac{m m *}{d_{1,2}^{2}} . \end{matrix}

Az ólomgolyótól nézve a testek (a rúd középpontjának irányától mérve) akkora

α_{1}

és

α_{2}

szög alatt látszanak, melyekre ‐ a szinusztétel alapján ‐ teljesül:

\begin{matrix} sin α_{1,2} = \frac{r}{d_{1,2}} sin φ, \end{matrix}

és a megfelelő erőkarok:

\begin{matrix} k_{1,2} = R sin α_{1,2} = \frac{R r}{d_{1,2}} sin φ . \end{matrix}

A forgatónyomatékok ellentétes irányúak, de nem egyforma nagyságúak, emiatt nem ,,oltják ki'' egymást. Az eredő forgatónyomaték nagysága:

\begin{matrix} M (φ) & = F_{1} k_{1} - F_{2} k_{2} = γ \frac{m m^{*}}{d_{1}^{2}} \cdot \frac{r R}{d_{1}} sin φ - γ \frac{m m *}{d_{2}^{2}} \cdot \frac{r R}{d_{2}} sin φ = \\ = γ m m^{*} r R \cdot sin φ (\frac{1}{d_{1}^{3}} - \frac{1}{d_{2}^{3}}) . \end{matrix}

Tehát a forgatónyomaték

φ

szögtől való függése:

\begin{matrix} M (φ) = γ m m^{*} r R \cdot sin φ ({(R^{2} + r^{2} - 2 r R cos φ)}^{- \frac{3}{2}} - {(R^{2} + r^{2} + 2 r R cos φ)}^{- \frac{3}{2}}), \end{matrix}

ami a megadott tömegek és távolságok behelyettesítése után

\begin{matrix} M (φ) = 1, 20 \cdot 10^{- 10} sin φ ({(9, 04 - 1, 2 \cdot cos φ)}^{- \frac{3}{2}} - {(9, 04 + 1, 2 \cdot cos φ)}^{- \frac{3}{2}}) Nm . \end{matrix}

b)

A kapott függvényt ábrázolhatjuk pl. a GeoGebra segítségével (2. ábra), és leolvashatjuk, hogy a legnagyobb forgatónyomaték

φ = 44, 7^{\circ} \approx 45^{\circ}

-nál lép fel, és a nagysága

M_{max} = 8, 9 \cdot 10^{- 13} Nm

.
A forgatónyomaték iránya olyan, hogy a rudat a

φ = 0

helyzetbe igyekszik beforgatni.

2. ábra

Varga Vázsony (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. évf.)
dolgozata alapján