Kezdőlap


Feladat:	5161. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bokor Endre , Fonyi Máté Sándor , Kozák Áron
Füzet:	2020/március, 178 - 179. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Töltött részecskék mozgása elektromos és mágneses mezőkben
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/október: 5161. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először adjuk meg a jelenség kvalitatív leírását, a hengerpalást feltöltődésének magyarázatát!
A fémben a $q = - e < 0$ töltésű elektronok szabadon el tudnak mozdulni a fém kristályrácsához képest. Az elektronok nagyon hamar a fém pozitív töltésű kristályrácsával együtt fognak mozogni, de a rájuk ható mágneses erő hatására sugárirányban (kifelé vagy befelé) elmozdulhatnak, és ténylegesen el is mozdulnak. Ha a forgás iránya (mondjuk) olyan, hogy a $B$ vektor a balkéz-szabálynak megfelelő irányba mutat, akkor a mágneses Lorentz-erő sugárirányban kifelé húzza az elektronokat. Emiatt a henger felületén negatív töltések halmozódnak fel, miközben a henger belső része pozitívvá válik. A töltésszétválás miatt kialakul egy olyan $E (r)$ elektromos tér, amelyik sugárirányban kifelé mutat, tehát a henger tengelye felé húzza az elektronokat.
A sugárirányú töltésvándorlás mindaddig tart, amíg az eletromos erő nagysága el nem éri a mágneses erő nagyságát, sőt, egy kicsit túl is lépi azt, hiszem az eredő elektromágneses erőnek a körmozgást végző elektronok centripetális gyorsulást is biztosítania kell. Célunk a felületi töltéssűrűség (vagyis a hengerpalást egységnyi felületű darabjára ,,kiülő'' töltés) nagyságának meghatározása.
A mágneses erő nagysága a henger pálástjának közvetlen közelében (de még a fém belsejében): $F = | e | ω R B$ , az elektromos erő nagysága pedig $| e | E (R)$ . Az $m$ tömegű elektronok mozgásegyenlete:

\begin{matrix} | e | E (R) - | e | ω R B = m R ω^{2}, \end{matrix}

ahonnan az elektromos térerősség a hengerpalást közvetlen közelében:

\begin{matrix} E (R) = ω R B + \frac{m}{| e |} R ω^{2} . \end{matrix}

(A jobb oldal második tagja minden reális esetben sok nagyságrenddel kisebb az első tagnál, emiatt a továbbiakban az

m

-mel arányos kifejezést elhanyagoljuk.)
A fémhenger egésze elektromosan semleges, tehát a hengerpaláston kívül az elektromos térerősség nulla. A henger palástjának egy kicsiny,

A

felületű darabkájába a henger belsejéből

Ψ = A E (R)

elektromos fluxus (ilyen számú elektromos erővonal) lép be, a külső oldalon pedig semennyi fluxus nem lép ki. A felület tehát az elektromos tér ,,nyelője'', vagyis negatív töltéseket tartalmaz. A Gauss-törvény szerint ez a töltés:

\begin{matrix} Q = - ε_{0} Ψ = - ε_{0} A E (R) = - ε_{0} ω R B A, \end{matrix}

vagyis a keresett felületi töltéssűrűség:

\begin{matrix} σ = \frac{Q}{A} = - ε_{0} ω R B . \end{matrix}

Mindez akkor igaz, ha a forgásirány a mágneses indukcióhoz viszonyítva ,,balmenetes'', vagyis a balkéz-szabálynak tesz eleget. Ellentétes forgásirány esetén a negatív töltések a henger tengelye felé mozdulnak el, és emiatt a felületi töltéssűrűség

+ ε_{0} ω R B

lesz.

Bokor Endre (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. évf.)
dolgozata felhasználásával