Kezdőlap


Feladat:	5160. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bokor Endre , Varga Vázsony
Füzet:	2020/március, 177 - 178. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Gömbkondenzátor, Síkinga
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/október: 5160. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Amikor az $R = d / 2$ sugarú, $Q_{1}$ és $Q_{2}$ töltésű fémgömbök a méretüknél sokkal nagyobb távolságra vannak egymástól, akkor a rendszer elektrosztatikus energiája jó közelítéssel

\begin{matrix} W = \frac{1}{2} \frac{Q_{1}^{2}}{4 π ε_{0} R} + \frac{1}{2} \frac{Q_{2}^{2}}{4 π ε_{0} R} = \frac{Q_{1}^{2} + Q_{2}^{2}}{8 π ε_{0} R} \end{matrix}

módon adható meg. (A közelítés annak felel meg, hogy elhanyagoljuk a fémgömbök egymásra kifejtett hatását, az elektromos megosztást.)
Kezdetben a szigetelőszálhoz erősített gömb töltése

Q_{1} = 0

, a szigetelőállványhoz rögzített fémgömb töltése pedig

Q_{2} = 8 \cdot 10^{- 9} C.

Az ütközés után mindkét gömb töltése

Q_{1; 2} = 4 \cdot 10^{- 9} C

, hiszen az ütközés rövid ideje alatt a töltések kiegyenlítődnek, és a szimmetria miatt fele-fele arányban kerülnek a két fémgömbre. Mivel az ütközés során az elektromos mező energiája nem változik (és mechanikai energiaveszteség sincsen), a kezdeti és a végső elektrosztatikus energia különbsége meg fog egyezni a helyzeti energia megváltozásával:

\begin{matrix} Δ E_{h} = m g Δ h = W_{1} - W_{2} = \frac{Q^{2} - 2 \cdot (\frac{Q}{2})^{2}}{8 π ε_{0} R} = \frac{Q^{2}}{16 π ε_{0} R} . \end{matrix}

Ebből már kiszámíthatjuk, hogy a kiindulási helyzeténél mennyivel kerül magasabbra a fonálon lengő gömb, amikor újra megáll:

\begin{matrix} Δ h & = \frac{Q^{2}}{16 π ε_{0} R m g} = \frac{{(8 \cdot 10^{- 9} C)}^{2}}{16 π \cdot (8, 854 \cdot 10^{- 12} \frac{F}{m}) \cdot (10^{- 2} m) \cdot (10^{- 3} kg) \cdot (9, 81 \frac{m}{s^{2}})} \approx \\ \approx 0, 0015 m = 1, 5 mm . \end{matrix}

Varga Vázsony (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. évf.)
dolgozata alapján

Megjegyzés. A két fémgömb közötti elektrosztatikus kölcsönhatás csak akkor hanyagolható el, amikor a gömbök elegendően távol vannak egymástól. Amikor közelednek egymáshoz, majd összeérnek, az erőteljes elektromos megosztás miatt csak bonyolultan kiszámolható erő lép fel közöttük. Ezen erő munkája miatt a fémgömb sebessége (mozgási energiája) bonyolult módon változik, és módosítja az ütközés sebességét. Szerencsére ezt a számítást nem kell elvégeznünk, ha nem az ütközés sebességét, hanem csak a kiindulási és az ismételt megálláshoz tartozó magasságot akarjuk összehasonlítani. Azt az állítást, hogy az ütközéskor bekövetkező hirtelen töltésátrendeződés nem vezet energiaveszteséghez, a hivatkozott cikk alapján lehet belátni, de a feladatban feltett kérdés enélkül is megválaszolható.