Kezdőlap


Feladat:	B.5027	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baski Bence , Beke Csongor , Győrffi Ádám György , Hegedűs Dániel , Nagy Nándor , Osztényi József , Soós Máté , Szabó Kornél , Török Mátyás , Weisz Máté
Füzet:	2020/március, 158 - 159. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Várható érték, Valószínűségi változó
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/április: B.5027

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Naponta átlagosan 1 csokigolyót gurít le. Hívjuk $n$ -edzésnek az $n$ hosszú utcában végzett edzést, és legyen $f (n)$ az átlagosan megevett csokigolyók száma. Teljes indukcióval látjuk be, hogy $f (n) = 1$ . Az állítás $n = 2$ -re nyilván igaz. Feltéve, hogy $n = k \geq 2$ -re igaz, vizsgáljuk az $n = k + 1$ esetet. A $(k + 1)$ -es edzés kezdetén $\frac{1}{2}$ eséllyel csinál egy $k$ -as edzést és visszaér a 2-es házba, és $\frac{1}{2}$ eséllyel visszamegy az 1-es házba 0 csokigolyóval. Ha csinált egy $k$ -as edzést, utána megint $\frac{1}{2}$ eséllyel egy $k$ -as edzést végez, és $\frac{1}{2}$ eséllyel visszamegy az 1-es házba stb. Felhasználva, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{2^{l}} + \frac{1}{2^{l + 1}} + ... = \frac{(\frac{1}{2})^{l}}{1 - \frac{1}{2}} = {(\frac{1}{2})}^{l - 1}, \end{matrix}

felírható a következő:

\begin{matrix} f (k + 1) & = \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{4} f (k) + \frac{1}{8} \cdot 2 f (k) + \frac{1}{16} \cdot 3 f (k) + ... = \\ = f (k) (\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...) + f (k) (\frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ...) + ... = \\ = f (k) (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ...) = f (k) . \end{matrix}

Ezzel az állítást beláttuk

n = k + 1

esetére is.
Tehát Artúr átlagosan minden nap 1 csokigolyót gurít le.

Beke Csongor (Budapest, Békásmegyeri Veres Péter Gimn., 11. évf.)